2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案.docx

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）1.已知向量，则向量与的夹角等于．答案：2.已知集合，且，则实数的取值范围是．答案：3.已知复数，其中是虚数单位，则．答案：4.在平面直角坐标系中，设分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，且，则双曲线的离心率为．答案：5．5.定义区间的长度为．若函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为．答案：3.6.若关于的二次方程的两个互异的根都小于1，则实数的取值范围是．答案：7.若，则．答案：8.棱长为2的正方体-在空间坐标系-中运动，其中顶点保持在轴上，顶点保持在平面上，则长度的最小值是．答案：9.设数列满足：，成等比数列．若，则满足条件的不同的数列的个数为．答案：15099．10.对于某些正整数，分数不是既约分数，则的最小值是．答案：二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11.设数列满足：①，②，③求证：（1）数列是递增数列；（2）对如图任意正整数，证明：（1）因为且，所以．所以所以数列是递增数列．（2）因为所以当时，又所以对任意正整数，12.在平面直角坐标系中，设椭圆，直线若椭圆的离心率为，原点到直线的距离为（1）求椭圆与直线的方程；（2）若椭圆上三点到直线的距离分别为，求证：可以是某三角形三条边的边长．解：（1）由题设条件得，从而故所求的椭圆．直线（2）设，则其中所以又故因为所以可以是某个三角形的三条边的边长．13.如图，圆是四边形的内切圆，切点分别为与交于点与交于点，与交于点，与交于点．求证：四边形是平行四边形．证明：连接因为圆是四边形的内切圆，所以是的平分线，且在△中，由三线合一，点是线段的中点．同理点是线段的中点，所以．同理．所以四边形是平行四边形．14.求满足的所有素数和解：满足题设条件的素数只有假设则所以，即又因为，且为素数，而从而这与矛盾．所以因为是素数，所以或当时，，即所以当时，所以或，或经检验，，或，或时，所以满足条件的素数只有