x省x市二x中高三数学复习教学案《函数与方程》.doc

§2.7 函数与方程 基础自测 1.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是 . 答案a≥或a≤-1 2.已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 . 答案0 3.函数f(x)=ex-的零点个数为 . 答案 1 4.如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是 . 答案（-∞，-2）∪（6,+∞） 5.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为，则f(1)= . 答案 0 例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］； （2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］； （3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1，3］. 解（1）方法一 因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0， 所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x2-3x-18，x∈［1，8］存在零点. 方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］存在零点. （2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0, ∴f（x）=x3-x-1，x∈［-1，2］存在零点. （3）∵f（1）=log2（1+2）-1＞log22-1=0. f(3)=log2(3+2)-3＜log28-3=0.∴f（1）·f（3）＜0 故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点. 例2 求函数y=lnx+2x-6的零点个数. 解 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由图可知两图象只有一个交点， 故函数y=lnx+2x-6只有一个零点. 例3 （14分）（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值； （2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围. 解（1）若a=0，则f(x)=-x-1, 令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意； 2分 若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数， 故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0， 解得a=-， 4分 综上所述a=0或a=-. 6分 （2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点， 即|4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根. 8分 令g(x)=|4x-x2|,h (x)=-a. 作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根， 那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点. x分 故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0. ∴a的取值范围是（-4,0）. 14分 例4 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）. 解 由于f(1)=1-1-1=-1＜0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0, ∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，取区间［1，1.5］作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算列表如下： 端（中）点 坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|0.51.25f(1.25)＜00.251.375f(1.375)＞0 [1.3x 5，1.37]0.x51.3x 5f(1.3x 5)＜00．062 5