【高中教学案】4-1：第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理- 2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案.docVIP

【高中教学案】4-1：第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理- 2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案 导读：就爱阅读网友为您分享以下“【高中教学案】4-1：第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理- 2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 二 圆内接四边形的性质及判定定理 [对应学生用书 P21] 1. 圆内接四边形的性质 (1)如图:四边形 ABCD 内接于 O ,则有: A +∠ C =180°,∠ B +∠ 180°. (2) 如图: CBE 是圆内接四边形 ABCD 的一外角,则有: CBE =∠ 2. 圆内接四边形的判定 (1) (2)圆. [对应学生用书 P21] [例 1] 如图, AB 是 O 的直径,弦 BD , CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F . 求证: DEA =∠ DF A . [思路点拨 ] 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用. 解题时, 只需证 A , D , E , F 四点共圆后可得结论. [证明 ] 连接 AD . 因为 AB 为圆的直径,所以 ADB =90°. 又 EF AB , ∠ EF A =90°,所以 A , D , E , F 四点共圆. 所以 DEA =∠ DF A . 圆内接四边形的性质即对角互补, 一个外角等于其内角的对角, 可用来作为三角形相似 的条件,从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系. 1.圆内接四边形 ABCD 中,已知 A ,∠ B ,∠ C 的度数比为 4 3∶ 5,求四边形各角 的度数. 解:设 A ,∠ B ,∠ C 的度数分别为 4x, 3x, 5x , 则由 A +∠ C =180°, 可得 4x +5x =180°. x =20°. ∴∠ A =4×20°=80°,∠ B =3×20°=60°, ∠ C =5×20°=100°,∠ D =180°-∠ B =120°. 2.已知:如图,四边形 ABCD 内接于圆,延长 AD , BC 相交于 点 E ,点 F 是 BD 的延长线上的点,且 DE 平分 CDF . (1)求证:AB =AC ; (2)若 AC =3 cm, AD =2 cm,求 DE 的长. 解:(1)证明: ABC =∠ 2, ∠ 2=∠ 1=∠ 3,∠ 4=∠ 3, ∴∠ ABC =∠ 4. ∴ AB =AC . (2)∵∠ 3=∠ 4=∠ ABC , ∠ DAB =∠ BAE , ∴△ ABD ∽△ AEB . ∴ AB AE AD AB . ∵ AB =AC =3, AD =2, ∴ AE =AB 2AD 92 . ∴ DE =92-2=52(cm). [例 2] 如图,在 ABC 中, E , D , F 分别为 AB , BC , AC 的中 点,且 AP BC 于 P . 求证:E , D , P , F 四点共圆. [思路点拨 ] 可先连接 PF ,构造四边形 EDPF 的外角 FPC ,证明 FPC =∠ C ,再证 明 FPC =∠ FED 即可. [证明 ] 如图,连接 PF , AP ⊥ BC , F 为 AC 的中点, PF =12 AC . ∵ FC =12 AC , ∴ PF =FC . ∴∠ FPC =∠ C . ∵ E 、 F 、 D 分别为 AB , AC , BC 的中点. EF ∥ CD , ED ∥ FC . ∴四边形 EDCF 为平行四边形, FED =∠ C . ∴∠ FPC =∠ FED . ∴ E , D , P , F 四点共圆. 证明四点共圆的方法常有:如果四点与一定点等距离, 那么这四点共圆; 如果四边 形的一组对角互补, 那么这个四边形的四个顶点共圆; 如果四边形的一个外角等于它的内 对角, 那么这个四边形的四个顶点共圆; 如果两个三角形有公共边, 公共边所对的角相等 且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆. 3.判断下列各命题是否正确. (1)任意三角形都有一个外接圆,但可能不只一个; (2)矩形有唯一的外接圆; (3)菱形有外接圆; (4)正多边形有外接圆. 解:(1)错误,任意三角形有唯一的外接圆; (2)正确,因为矩形对角线的交点到各顶点 的距离相等; (3)错误,只有当菱形是正方形时才有外接圆; (4)正确,因为正多边形的中心 到各顶点的距离相等. 4.已知:在 ABC 中, AD =DB , DF AB 交 AC 于点 F , AE =EC , EG AC 交 AB 于 点 G . 求证: (1)D 、 E 、 F 、 G 四点共圆; (2)G 、 B 、 C 、 F 四点共圆. 证明: