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西安工业大学高数期末考试题及答案试题 ??高等数学（Ⅱ）期末参考答案 ?? ??一、填空题（每小题3分，共36分） ?1?1.lim??1??x???xy??y?? ??x ???1? ???1??lim??x???xy??y?? ??xy? ??1y ????1? ????lim??1??x???xy???y??? ??xy ?????? ??lim ??x?? ??y?? ??1y ???e? . ?? ??1 ??2.函数z?z(x,y)由方程exz?sin ??yx ???0确定，则 ???z?y ???? ??FyFz ???? ??x ??cosxe ??xz ??yx?? ??cosxe ??2 ??y ??xz ??x . ??3.设函数u?lnx?y?z ??222 ??，则它在点M0(1,?1,1)处的方向导数的最大值为 ??33 ??. ??4.设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a??5. ??1 ??22 ??5.空间曲线 ??1 ??y ??2 ???2x,z ??2 ???1?x在点(,1, ??2 ??)处的切线方程为 ??x? ??2?y?1?11 ??z?? ??22 . ??12 ??20 ??2x?x0 ??2 ??6.改变积分次序：I? ???dx? ??f(x,y)dy? ??? ??1 ?? ??dy? ??2 ??1?1?y ??2 ??1?1?y ??2 ??f(x,y)dx . ??12 ??7.设平面曲线L为下半圆周y???x2，则?(x?y)ds? ??L ??2 ??? ??L ??1?ds??1??? . ??2 ??8.设?为曲面z??e?x, ??9.设f(x)?? ???1, ??12 ??(1?e) . ??? ??22 ??x?y在0?z?1的部分，则??xdS? 0 . ??? ?????x?00?x?? ??,则其以2?为周期的傅里叶级数在x??处收敛于 ??10.设y1,y2,y3是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1?y2)?C2(y2?y3)?y1 . ??y1?y2y2?y3 ???常 ??11.函数f(x)? ??12?x1x ??? ??展开为x的幂级数的形式为? ??n?0 ??x ??12 ??xn?1 ??n ??x?(?2,2) . ??12.微分方程y??y?xe的通解为 Cx?xe . ??x ??二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设z?f( ??yx,e ??xy ??)，y??(x)，其中f,?均为一阶可微函数，求dzdx ???f1?? ??y?x?y ??2 ??xy ???f2??e(y?xy?) ??dzdx ??. ??解： ???f1??2.求曲面z?4? ??12 ??2 ??2 ??x ??x??(x)??(x) ??x ??2 ??xy ???f2??e(?(x)?x??(x)) ??(x?y)与平面z?2所围立体的体积. ??解：所围立体在xoy面的投影域D:x2?y2?4，所围立体的体积 ??12?2 ??[4?(x?y)]?? ??2? ??2 ??V? ???? ??D ??1? ??2?dxdy?2??dxdy? ??2?D ???? ??D ??(x?y)dxdy ??22 ???2?2?? ??1 ???2 ??2? ?? ??d? ??? ??2 ?? ??rrdr?8??4??4? ??2 ??3.在曲面x2?2y2?3z2?66上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面 ??x?y?z?1平行. ??解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令 ??F(x,y,z)?x?2y?3z?66， ??2 ??2 ??2 ??则切平面的法向量 ??n?(Fx,Fy,Fz)M?(2x,4y,6z), 已知平面x?y?z?1的法向量 ??? ??n1?(1,1,1) ?? ??依题意n//n1，即 ??? ?? ??2x1 ??? ??4y1 ??? ??6z1 ??令 ???t ??代入曲面方程中解的x?6,y?3,z?2，即切点坐标为M(6,3,2). 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设?是由锥面z? ??x?y ??2 ??2 ??与半球面z??x?y ??22 ??围成的空间区域，?是?的整个 ??边界的外侧，求曲面积分xdydz?ydzdx?zdxdy. ??? ??解：已知P(x,y,z)?x，Q(x,y,z)?y，R(x,y,z)?z，由高斯公式有 ???P?x ???Q?y ???R?z ??? ??xdydz?ydzdx?