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omw猎狗追兔子问题kqf
实验问题
1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地
方O处,此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全
速跑去,假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑,用计
算机仿真法等多种方法完成下面的实验:
(1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少?
(2) 在猎狗能追上兔子的情况下,猎狗跑过的路程是多少?
(3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。
(4) 假设在追赶过程中,当猎狗与兔子之间的距离为30米时,兔子由于
害怕, 奔跑的速度每秒减半,而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增
加0.1倍,在这种情况下,再按前面的(1)—(3)完成实验任务。
二.问题的分析
涉及Matlab的知识:
If-and循环,while-and循环,绘图。
数学建模与求解的方法:
1.兔子的起始位置是O(0,0),狗的初始位置是B(-100,-100)。
兔子沿OA直线跑动,OA的方程是y=-x,兔子的速度是8米每秒,所以任意时刻t,兔子的位置是=(-4,4),狗以匀速追赶兔子,速度大小不变,方向时刻指向兔子。
设任意时刻t,狗的位置是,兔子的位置是,则有题意可知:cosα=,sinα=,设狗的速度大小为v,在t+dt时,兔子的位置变为(-(t+dt), *(t+dt)),狗的位置的横坐标x′=x+v*cosα*dt,纵坐标y′=y+v*sinα*dt.
狗和兔子之间的距离,,当=0时,狗追到兔子,但如果在=0之前,兔子到达A点,即兔子跑进了洞穴,则狗追不到兔子,兔子跑进洞穴所需时间为t=120/8=15秒,所以狗以最小速度追赶兔子时,在洞口初,恰好追到兔子。在运算时,可以任意给狗一速度v,在此速度下,狗能否在洞口处恰好追到兔子,如果在到达洞口之前就追到了,则取比v小的一速度,在进行运算。如兔子进入洞穴时仍未追上,则在取一比v大的速度进行运算,直到取到一速度使狗在洞口处追到了兔子。
2.当狗与兔子的距离大于30时,运算过程与1相同,当距离小于30时,兔子的速度每秒减半,而狗的速度每秒增加0.1倍,取间隔dt,当二者距离小于30时,兔子的速度为v=8/(2^dt),狗的速度v=v*1.1^dt,由此可以写出任意时刻t,兔子和狗的位置坐标。其他过程与1相同。
程序设计
根据以上,编写程序如下:
问题求解结果与结论
其中直线为兔子的运动轨迹,曲线为狗的轨迹。由于二者在相距30米时,才开始变速,所以两图的差别不十分明显。
在Matlab运行后,得结果,狗的最小速度为v=17.081,跑过的路程为s=256.1548;当狗和兔子的速度发生变化时,狗的最小速度v=15.5872,跑过路程s=253.2291.
实验总结与体会
实验过程比较繁琐,一开始并没有找到适合的运行程序方法,经过仔细的分析探讨研究,类比缉私艇追击走私船的三种解决方法,逐渐摸索出一套较为可行的方案。通过亲身体验,体会到了数学实验在解决现实问题时的方便快捷,精确无误。
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