上在单连通区域d有连续偏导数.ppt

Chap 18－5 Stokes公式 其中?S的方向与S的侧按右手系联系. 一.Stokes公式 设S是分片光滑的双侧曲面,向量值函数 在包含S 的空间区域内有连续偏导数,则 借助行列式，公式可记为 其中?S定向与(cos ?, cos ?, cos ?)按右手法则联系 例 计算 ,其中C是平面 被三个坐标平面所截的三角形S 的 边界, 其方向与S上侧成右手系. 例 计算 曲线C为 , 积分方向从x 轴的正向 看沿逆时针. 例 求向量场F 在点(1,?1,3) 的旋度. 二. 旋度 对向量函数F = (P, Q, R), 定义 为函数F 在(x, y, z)处的旋度. Stokes公式的向量形式 若记 那么 这样 Stokes公式可以写成形式 其中C的定向与n0按右手法则联系 Chap 18 第二类曲线和曲面积分 Chap 18－1 第二类曲线积分 18.1.1 第二类曲线积分的概念 一.例子与概念 问题 设在光滑平面曲线C 上有连续的作用力 起点A移动到终点B所做的功？ 求F 作用于C上质点从 考察质点在C上任一M处 移动一段弧微元所作的功 A B M C 定义 设C 为定向曲线, 向量函数F= (P, Q )在C上 的曲线积分(第二类曲线积分) (向量形式) 由于定向弧微分 于是 两类曲线积分关系 (坐标形式) 二. 性质 与第一类曲线积分不同,第二类曲线积分与 曲线方向有关 还有与其他积分类似的性质,例如线性与可加性 注意 1) 两种曲线积分形式的不同 2) Q = 0或P = 0, 仍是第二类 18.1.2 第二类曲线积分的计算 定理 若曲线C为 证 考察 , 由于 ，则 故公式得证. 特例 1. 若曲线C为 , 则 2. 若曲线C为平行于x轴的定向直线段时 3. 若曲线C为平行于y轴的定向直线段时 例 计算曲线积分 C是由O(0, 0)到A(1, 1)的如下曲线 (3) 由O经B(1, 0)到A的折线 A(1, 0)到终点B(?1, 0) 的上半圆周 例 计算 , 曲线C为起点 思考或猜测 空间曲线L=AB: x = x(t), y = y(t),z = z(t), 则第二类曲线积分 如何引进和计算? 例 计算 , 曲线L是 由(1, 1, 1)到(0, 0, 0)的一段弧. Chap 18－2 Green 公式 18.2.1 Green 公式 一.连通区域及其边界方向 设D为平面区域, 若D内的任意一条闭曲线所 围成的区域都落在D内, 则称D为单连通的, 否则称 D为复连通的. 单连通区域 D 复连通区域 D 当点沿区域D边界朝一个方向前进时, 区域总在 它左侧, 将此方向规定为D边界的正向, 记为?D+. 与?D + 相反的有向曲线记为?D?. 当平面闭曲线是单连通区域的边界时,通常 约定逆时针方向为其正向,顺时针方向为其负向. 设函数P(x,y),Q(x,y)在有界区域D上有连续的 二. Green 公式 偏导数，D的边界是分段光滑曲线，则有公式 (二重积分与在其边界上的第二类曲线积分的关系) 证明思路 先证 1）先考虑区域D是x型正规区域的情况 O x y A A1 B1 B 2）再考虑D为一般区域 将D分割成几个正规区域 x O y D1 D2 D3 a b 例 计算 其中曲线C : 取逆时针方向. A(1, 0)到终点B(?1, 0) 的上半圆周 例 计算 , 曲线C为起点 例 计算星形线 所围图形面积. 例 计算积分曲线 其中C+是包围原点的任一正向闭曲线 Green 公式的向量形式 为?D+的单位 则 为?D的单位外法向量, 设 切向量, (2) 在D内任一曲线积分 与路径无关 (3) Pdx+Qdy是某个函数u的全微分, 即 18.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 Green定理 设函数P(x,y), Q(x,y)上在单连通区域 D 有连续的偏导数, 则下面的四个条件互相等价： (1) 在D内的任一条逐段光滑的闭曲线C上 (此时称u(x,y)是 的原函数) (4) 在D内恒有 例 计算积分 其中C是 上半椭圆 由O(0, 0)到A(2, 3)的弧 例 设积分 与路径无关, 其中 ?有连续导数, ,计算 18.2.3 全微分求积 设函数P(x,y),Q(x,y)上在单连通区域D 有连续偏 导数，且 是某个函数u的全微分, 且 则 (u的求法) 上述求原函数的过程称为全微分求积(分). 例 求 的原函数, 并计算 Chap 18－3 第二类曲面积分 18.3.1 第二类曲面积分 一. 双侧曲面 设S是一光滑曲面，n是起点P 在S上的任一法 向量,若P在S上沿任何曲线连续变动而不越过曲面 边界回到起始位置时，法向量n总是保持原来的指