专题七函数导数与零点恒成立问题.doc

函数、导数与零点问题 例1、 已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间[一1，1]上的减函数． (I)求a的值； (II) 若在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围． (Ⅲ) 讨论关于x的方程的根的个数。 变式1、若问是否存在实数m，使得y= f（x）=的图象与 y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 变式2、已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。 例2、已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式； 　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4； （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围. 变式3．奇函数的图象E过点两点. （1）求的表达式； （2）求的单调区间； （3）若方程有三个不同的实根，求m的取值范围. 例3．已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 变式4．已知函数的一个极值点. （Ⅰ）求a； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围. 例4．已知函数 （Ⅰ）若，求的极大值； （Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围. 变式5、 已知两个二次函数：与， 函数y＝g（x）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为 （1）试证：在（－1，1）上是单调函数 （2）当1时，设，是方程的两实根，且，试判断，，，的大小关系 变式6． 设函数其中 （1）求函数的最值； （2）判断，当时，函数在区间内是否存在零点。 函数、导数与零点问题答案 例1、 解：（I）是奇函数，则恒成立. （II）又在[－1，1]上单调递减， 令 则. （III）由（I）知 令，， 当上为增函数； 上为减函数， 当时，而， 、在同一坐标系的大致图象如图所示， ∴①当时，方程无解. ②当时，方程有一个根. ③当时，方程有两个根. 变式1、令因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点 当x∈（0，1）时，是增函数；当x∈（1，3）时，是减函数 当x∈（3，+∞）时，是增函数当x=1或x=3时， ∴ 又因为当x→0时，当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须 即∴m=7或 ∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。 变式2、解：（I） 当即时，在上单调递增， 当即时，当时，在上单调递减，综上， （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数 的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当时，是增函数；当时，是减函数； 当时，是增函数；当或时， 当充分接近0时，当充分大时， 要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 　　即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 例2．解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0， 即 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x3－3x. （II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1x1时，f′(x)0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|；|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上. 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为 ，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线， ∴关于x0方程=0有三个实根. 设g(x0)= ，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x