八年级数学上册 《菱形菱形的性质定理 菱形的判定定理》例题精讲与同步练习 北师大版.doc

《菱形、菱形的性质定理 菱形的判定定理》例题精讲与同步练习 【重点、难点】 几何：重点： 1．菱形的概念。 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2．菱形的性质： ①菱形的四条边相等； ②菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角； ③菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。 3．菱形的判定定理： ①四条边相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。 【讲一讲】 几何： 例1：已知：在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF。 分析：由菱形的性质可以知道AB=AD=BC=CD，又E、F分别为中点，则BE=DF。另有∠B=∠D，这样通过全等三角形可以求证AE=AF 证明：∵ABCD为菱形， ∴AB=AD BC=CD ∠B=∠D ∵E、F分别为BC、CD的中点 ∴BE=DF ∵在△ABE与△ADF中 ∴△ABE≌△ADF ∴AE=AF 例2：已知：矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。 求证：四边形AFCE是菱形。 分析：由EF为AC的垂直平分线有AE=EC，AF=FC，若证AFCE为菱形，只须证AE=FC，通过已知ABCD为矩形，利用矩形的性质可以证明△AOE与△COF全等。从而得到AE=CF。 证明：∵ABCD为矩形， ∴AD∥BC ∴∠1=∠2。 ∵EF为AC的垂直平分线 ∴AO=CO 在△AOE与△COF中 ∴△AOE≌△COF ∴AE=FC ∵ABCD为矩形， ∴AD∥BC 即AE∥FC ∴四边形AFCE为平行四边形 ∵EF是AC的垂直平分线 ∴EF⊥AC ∴AFCE为菱形。 例3：已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分线交AC于D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F。 求证：AEFD为菱形。 分析：利用角平分线的性质可以证明AD=DF。 由角平分线可得∠ADB=∠BEH， 从而得到∠1=∠ADE，即AE=AD， 又可证明AE∥DF，所以由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以证明结论。 证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠ADB+∠ABD=90° ∵AH⊥BC于H ∴∠2+∠DBF=90° ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠DBF=90° ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBF， ∠ADB=∠1 ∴AE=AD ∵BD平分∠ABC， ∠BAC=90° DF⊥BC于F ∴AD=FD AE=FD ∵AH⊥BC于H， DF⊥BC于F ∴AH∥DF，即 AE∥FD ∴AEFD为平行四边形 ∴AE=AD ∴AEFD为菱形 【同步达纲练习】 几何： 1．已知：平行四边形ABCD中，AC和BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，HG过O点交AB于H，交CD于G。 如果EF平分∠AOD，HG平分∠AOB 求证：EHFG为菱形 2．已知菱形ABCD的对角线AC长为16，BD长为12 求它的面积，边长AB及高。 3．已知菱形对角线BD=4，∠BAD：∠ADC=1：2， 求：菱形面积及对角线AC的长。 4．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥DB。DE与CE相交于E 求证：四边形OCED为菱形。 5．求证：菱形四边中点连线组成的图形为矩形 6．求证：矩形四边中点连线组成的图形为菱形。 参考答案 【同步达纲练习】 1．∵OE平分∠AOD ∴ ∵OH平分∠AOB ∴ ∵∠AOD+∠AOB=180° ∴即HG⊥EF。 ∵ABCD为平行四边形 ∴OA=OC BO=OD AD∥BC AB∥CD ∴∠DAO=∠BCO ∠ABO=∠ODC ∴△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG ∴OE=OF OH=OG ∴HFGE为菱形。 2．∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD OA=OC OD=OB 又∵AC=16 BD=12 ∴OD=6 AO=8 ∴ ∴AB=10 ∵ ∴ 3．∵ABCD为菱形 ∴AB∥CD ∴∠BAD+∠ADC=180°∵∠BAD：∠ADC=1：2 ∴∠BAD=60° ∠ADC=120° ∵AC⊥BD OA=OC OB=OD BD=4 ∴OB=2，又∠BAO=∠DAO=30° ∴ AB=4 ∴ ∴ 4．∵DE∥AC ∴DE∥OC 同理CE∥OD ∴OCED为平行四边形 ∵ABCD为矩形 AC、BD相交于O ∴OA=OC OD=OB且AC=BD ∴OD=OC ∴OCED为菱形。 5． 证明：连结AC、BD相交于O ∴ ∴ EF∥BD 又∵ABCD为菱形 ∴AC⊥BD ∴EF⊥GF ∴EFGH为矩形。 6． 证明：连结AC、BD ∵ABC