小波与分辨率分析冈萨雷斯.ppt

江西财经大学 哈尔小波变换(续4) I(x)图像用V1和W1中的函数表示生成V1矢量空间的基函数为 和 ，生成矢量空间W1的小波函数为 和 ，I(x)可表示为 * 江西财经大学 哈尔小波变换(续5) I(x)图像用V0、W0和 W1中的函数表示生成矢量空间V0的基函数为 ，生成矢量空间W0的小波函数为 ，生成矢量空间W1的小波函数为  和 ， I(x)可表示为 * Thank you * * * * * * * * * * * * 江西财经大学 对于任意函数空间V及其相应的展开集合 都有一个二重函数集合 ，它可用于计算序列展开的系数 ，即 其中*表示复共轭操作，如果f(x)是实数， 的值可以根据展开函数的正交性来获取 * 江西财经大学 尺度函数 设 为由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数 组成的展开函数集合，定义为： 对所有的 和 都成立。K决定了 在x轴上的位置，j决定了 的宽度，即没x轴的宽或窄的程度，而 控制其高度或幅度 * 江西财经大学 令 ，展开集合 将是 的一个子集 也就是说， 是 在k上的一个跨度，如果 可写成： * 江西财经大学 简单的尺度函数遵循多分辨率分析的4个基本要求： 1、尺度函数对其积分变换是正交的 2.由低尺度的尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内 即包含高分辨率函数的子空间必须同时包含所有低分辨率的函数 * 江西财经大学 * 江西财经大学 3.惟一包含在所有 中的函数是f(x)=0 如果考虑最粗糙的展开函数(即 ),惟一可表达的函数是没有信息的函数，即 4.任何函数都可以以任意精度表示 所有可度量的、平方可积函数都可以用极限 表示 * 江西财经大学 子空间 的展开函数可以被表述为子空间 的展开函数的加权和 将 改写成 ，上式变成 因为 ，上式可简化为 * 江西财经大学 小波函数 设小波集合为 ，定义为： 使用尺度函数，可得： 尺度和小波函数子空间的联系为： 其中， 表示空间并集。 中 的正交补集是 ，即 中所有成员与 中所有成员正交 * 江西财经大学 * 江西财经大学 可以将所有可度量的、平方可积函数空间表示如下： 其中 是任意的开始尺度。 * 江西财经大学 任何小波函数可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和，即 其中， 称为小波函数系数，利用小波跨越的正交补集空间且积分小波变换是正交的条件，可得 * 江西财经大学 小波序列展开 首先根据小波 和尺度函数 为函数 定义小波序列展开： 其中 是任意开始尺度， 为近似值或尺度系数， 称为细节或小波系数。 * 江西财经大学 离散小波变换 对于离散小波变换(DWT),f(x)可以表示为： 其中， 对于 ，令 ， 并且 * 江西财经大学 快速小波变换 快速小波变换(FWT)是一种实现离散小波变换(DWT)的高效计算,该变换找到了相邻尺度DWT系数间的一种令人惊喜的关系,称为Mallat人字形算法. 由等式: 用 对x进行尺度化，用k对它进行平移，令m=2k+n,得： 尺度向量 看成是将 展开成尺度为j+1的尺度函数的权 * 江西财经大学 把尺度向量换成小波向量，则上式变为： 把上式代入到 和 中，得 * 江西财经大学 从上面的式子可以看出，尺度j的近似值和细节系数 和 可以通过做尺度j+1的近似值得系数 和时域反转的尺度与小波向量 的卷积，而后对结果亚取样来计算 上述过程与两段子带编译码系统的分析部分相同， 且 ，因此有： * 江西财经大学 其中，卷积在n=2k时进行计算( ).在非负偶数时刻计算卷积与以2为步长进行过滤和抽样的效果相