利用导数探究函数的零点问题专题讲座.ppt

真 题 感 悟 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1、三次函数的图象四种类型 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： a的符号 零点个数 充要条件 a＞0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值) 一个 f(x1)＜0或f(x2)＞0 两个 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 三个 f(x1)＞0且f(x2)＜0 a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值) 一个 f(x2)＜0或f(x1)＞0 两个 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0 例1： 函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数. 一、三次函数的零点问题 函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数. 几何画板演示 函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数. 几何画板演示 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围. 几何画板演示 当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) t＋3 t＋1 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值. 当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点. 当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调， 所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点. 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1). 探究提高　解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t). (2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2. 设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4. 由题设知1－k＞0. 当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根. 当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4， 则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x). h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0. 所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根. 综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点. 探究提高　研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用. 二、非三次函数的零点问题 几何画板演示 附：非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出其图象，采用类似于三次函数的方法探究零点。 f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表： 探究提高　对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 1、已知函数f(x)=x3-3ax -1, a0 (1) 求f(x)的单调区间； (2) 若f(x)在x= -1处取得极值，直线 y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 几何画板演示 解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点 ,则 ,即 解得 当 时,x轴是y