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1.2行列式的基本性质与计算 导读：就爱阅读网友为您分享以下“1.2行列式的基本性质与计算”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! §1.2 行列式的基本性质与计算 1.行列式的基本性质 2.行列式按任一行(列)展开 一、行列式的基本性质 定义 设 a11 a 21 D? ? a n1 a12 a 22 ? an2 ? a1 n ? a2n , ? ? ? a nn 对D行列互换而不改变各行、各列的顺序, 得 a11 a 21 ? a n1 a12 D? ? D ? ? T a 22 ? a2 n ? an 2 称为D的转 ? ? ? a nn a1n 置行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 D =D ? a11 0 ? ? ? 0 a 21 例如, D ? ? a n1 a 22 ? an 2 0 ? a11a 22 ? a nn ? ? a nn a11 a 21 a 22 ? 0 ? a n1 ? an2 ? ? ? a nn ? D? = ? 0 0 =a11a22...ann 注: 由性质1可知,行列式中行与列具有同等 地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列 也成立,反之亦然. 性质2 互换两行(列),行列式改变符号. a11 ? ai1 ? a j1 ? a n1 ? ? ? ? ? ? ? a1 n ? a in ? a jn ? a nn a11 ? ? ? ? ? ? ? ? a1 n ? a jn ? a in ? a nn 即 ri ? rj a j1 ? ? ai1 ? a n1 注: 换行: ri?rj ; 换列: ci?cj . 推论1 若行列式D中某一行(列)的所有元素 为零,则D=0 推论2 若行列式D中有两行(列)相同,则D=0 性质3 如果行列式D中某行(列)的所有元素 是两个数的和,那么D可表示成两个新行列 式之和,即 a11 ? a12 ? ? ? a1n ? a11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? bi1 ? ci 1 bi 2 ? ci 2 ? bin ? cin ? bi1 bi 2 ? bin ? ci 1 ci 2 ? cin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a n1 an 2 ? ann an1 an 2 ? ann an1 an 2 ? ann 性质3可推广到某一行(列)为多个数的和的 情形 性质4 行列式的某一行(列)所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面,即 a11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? ri ? k kai 1 kai 2 ? kain k a i 1 a i 2 ? a in ? ? ? ? ? ? ? ? a n1 a n 2 ? a nn a n1 a n 2 ? a nn 推论3 若行列式D中有某两行(列)对应元素 成比例,则D=0. 性质5 把行列式的某一行(列)各元素的k倍 加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的 值不变,即 a11 a12 ? a1n ? ? ? ? ai 1 ai 2 ? ain ? ? ? ? r j ? kri a j1 a j 2 ? a jn ? ? ? ? an1 an 2 ? ann a11 ? ai 1 ? ? a n1 a12 ? ai 2 ? ? an 2 ? ? ? ? ? ? a1n ? ain ? ? ann a j1 ? kai 1 a j 2 ? kai 2 ? a jn ? kain 例如, x1 y1 x 2 y2 x 3 y3 注意: x1 y1 x 2 y2 x 3 y3 z1 x1 y1 z1 z 2 r3 ? kr1 x 2 z3 x 3 ? kx1 z1 z 2 r3 ? kr1 z3 x 3 ? kx1 x2 x3 y2 z2 y3 ? ky1 z 3 ? kz1 y3 ? ky1 z 3 ? kz1 y2 y3 z2 z3 注: 利用上述性质和推论可以简化行列式 的运算,即可把行列式化成上三角(或下三 角)行列式来计算. ? 2 5 ?1 3 1 ? 9 13 7 例1 计算行列式 3 ? 1 5 ? 5 2 8 ? 7 ? 10 1 ? 9 13 7 r1 ? r2 ? 2 5 ? 1 3 ? 解: 原式 3 ?1 5 ?5 2 8 ? 7 ? 10 1 ?9 13 7 r3 ? 3r1 0 ? 13 25 17 ? r4 ? 3r1 0 26 ? 34 ? 26 0 26 ? 33 ? 24 1 ?9 r3 ? 2r2 0 ? 13 ? r4 + 2r1 0 0 0 0 13 7 25 17 16 8 17 10