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补充：概率论基础知识 1 基本概念 1随机事件 : 在给定条件下，可能发生，也可能不发生，其结果是无法事先预测的现象 如:抛硬币出现正/反面、掷骰子出现几点都是随机事件。 2随机试验： 产生随机事件的过程 如:抛硬币、掷骰子 3样本空间： 随机试验中可能出现的各种随机事件全集。 如:硬币的正/反面、掷骰子的1－6点。 2 事件的关系运算 1.包含关系A?B: A发生必导致B发生 A＝B ? A?B且B?A. 2.和事件A?B：或者A发生或者B发生 3.积事件A?B＝AB: A发生并且B发生 4.差事件A－B： A发生并且B不发生 5. 6. 互不相容事件AB＝ ?：A、B互为对立事件,即A?B＝ ?, 且AB＝ ? 3事件与集合对应关系类比 4 概率 6 古典概型 7 条件概率及概率计算公式 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 8 事件的独立性 二、多个事件的独立 9贝努里概型 10 随机变量的概念 11 一维离散型随机变量的分布律 二、几个常用的离散型分布 12二维离散型随机变量 一、联合分布律 若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，联合分布律的性质 (1) pij ?0 , i, j＝1, 2, … ； (2) 二、条件分布律 三、离散型随机变量的相互独立性 13一维连续性随机变量及其分布 二、几个常用的连续型分布 14二维连续型随机变量及其分布 二、二维连续型随机变量及其密度函数 三、边缘密度函数 15、先验概率和后验概率 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率， 后验概率：在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。 先验概率和后验概率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率 一、联合分布及边缘分布 1、联合分布函数 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)?R2, 则称 F(X, Y)=P{X?x, Y?y} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义：对于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),则 P{x1X? x2， y1y?y2 } ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1). 1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可积函数f (x, y)，使对?(x, y)?R2，其分布函数 则称 (X, Y)为二维连续型随机变量， f (x, y)为(X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2 2、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性： f (x, y)?0, (x, y)?R2; (2)完备性： 反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f (x, y)还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y)?R2处连续，则有 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)?R2, 则称 为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称 为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(?1, ?2, ?1, ?2, ?)的边缘密度函数fX(x)是N(?1, ?1)的密度函数，而fX(x)是N(?2, ?2)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。 * * 概率论 集合论 样本空间 ?＝{