数学学年论文毕业论文分块矩阵的质及其应用.doc

分块矩阵的性质及其应用 摘要：本文介绍分块矩阵的定义、分块方法、运算性质，并通过例题说明分块矩阵理论在高等代数中的广泛应用。 关键词：分块矩阵、初等变换、应用、运算性质。 0引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。 1 分块矩阵的定义 ：把一个矩阵，在行的方向分成块，在列的方向分成块，称为的分块矩阵，记作，其中称为的子块，它们是各种类型的小矩阵。 例：把一个5阶矩阵 用水平和垂直的虚线分成四块，如果记： = 就可以把看成由上面4个小矩阵所组成，写作： = 并称它是的一个分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为的一个子块。常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种： 按行分块 = 其中 (2)按列分块 = 其中 (3)当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）： C= 其中是阶方阵( ) 如： == 其中， ， ； 矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵（1）中，的左上角是一个3阶单位阵，左下角是零矩阵。 第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。这在下面的研究中会得到充分的体现。 矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。 2 分块矩阵的运算性质 下面我们来研究分块矩阵的运算性质： 分块矩阵的加法与数量乘法 设都是矩阵，并且对用同样的方法进行分块： = 其中都是矩阵，即和是同型矩阵，那么 = 设是矩阵，把进行分块： =，为任意数，则= (2)分块矩阵的乘法 下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。 ：设A为矩阵，B为矩阵，若对A，B作如下分块： = = (1) … 则 ， 其中= (2) 证明: 记 … 下面证明将看作以数为元素的矩阵,有 首先,为矩阵,基于(1)的分块方式及(2)式,G为矩阵,且有 = = 故将看作以数为元素的矩阵,也是一个矩阵。 其次，的元必位于分块矩阵的某一子块之中，不妨设是的（）元素，即有： =+ 1 =+ 1 由式 有： 可知的（）元素应是的第行分别与的第列的相应元素乘积的和。由式可知，的第行元素位于中第行，的第列元素位于中第列再注意到对所作的分块，可得： +….+ = 这说明,矩阵的元素恰好等于矩阵的元素,基于以上两点可得 例:设矩阵 === 其中为三阶单位阵,为二阶单位阵, 0= 矩阵 ===, 其中 = 为二阶单位阵. 在计算时,把的各小子块看作元素,然后按通常的矩阵乘法把它们相乘,于是 == = 容易验证,这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。 注意：上例中A的列的分法与B的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则 的列组数等于的行组数。 的每个列组所含的列数等于的相应行组所含的行数。 (3) 分块矩阵的转置 先看一个例子：设 = 记 则可以分块成：= 因此我们有： = 一般地，设A=是一个分块矩阵，那么 分块矩阵取转置的规则： 第一步：把的每一块