数学建模之微分程.ppt

模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值 1/? ?降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? 于是，令 得 其中， 解为 这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常 否则含CO2的量只会增加。 令 得 这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到 讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟，K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问： （1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于0.08%? （2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？ 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。 种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。 三、Malthus模型与Logistic模型(复习) 模型1 马尔萨斯（Malthus）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率）， 既： 或 （3.5） （3.6） （3.1）的解为： 其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 故 模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： （3.7） r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。 为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程： 或 （3.8） （3.8）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。 （3.8）可改写成： （3.9） (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。 图3-5 对（3.9）分离变量： 两边积分并整理得： 令N(0)=N0，求得： 故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为： （3.10） 易见： N(0)=N0 ， N(t)的图形请看图3.5 Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 例 碳定年代法－衰减模型 考古、地质学等方面的专家常用14C测定法（通常称碳定年代法）来估计文物或化石的年代。 14C的蜕变规律 14C是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。 14C是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断蜕变，这种蜕变规律我们可以求出来。通常假定其蜕变速度