数学物理程课件第一章复变函数.ppt

第一篇 复 变 函 数 论 复变函数 微分和积分 泰勒展开和洛朗展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换 * z y x 1 1 O 第一章 复变函数 代数表示: x ,y 为实数，i 为单位虚数，则 且 x 为其实部，y 为虚部，记 1.1. 复数 为复数 * 且 和 主值 复共轭 又称为模 其它概念 x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为此平面上的一点 几何表示 从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量 为矢量长度 为幅角 记 * 复数的运算 加法 减法 乘法 除法 幂（n整数） 根 逼近 * 测地投影和无限远点 如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连，直线与球相交于 A’ 。由此，每一有限的复数 投影到球上一点 。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。 所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。 复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。 它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则； 它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。 小结 * 1.2. 复变函数 比较与实变函数相对应的定义 实函数： x x 定义域、值域 y=f(x) y=f(x) * 复函数 定义域 值域 * 定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复数 与之对应，称 为 z 的函数，E 为定义域， 记 定义域 值域 E * 实函数： 定义: 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x ，都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数的定义域，记 。 连续，可微： n 次可微 无限可微 * 邻域 区域 B 的内点 外点 境界点 境界线 区域 内点组成的连通集合 闭区域 区域和境界线的全体 全体境界点的集合 不是内点，也不是外点的点。 z 和它的邻域都不属于 B， 则 z 为 B 的外点。 z 和它的邻域都属于 B， 则 z 为 B 的内点。 复平面上圆 内点的集合 几个概念 z z r 区域 * 例 多项式 有理分式 根式 指数函数 三角函数 双曲函数 对数函数 幂函数 * 连续： 或： 视 z 为矢量 这是平面上的矢量场 可以设矢量函数 * 1.3. 导数 定义 运算规则 * 复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢量场，其导数一般应与方向有关。 可导：对任何方向的 ，极限都存在并唯一。 * 可导：对任何方向的 ，极限都存在并唯一。 x y z 复数 0 x 实数 因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强的多的条件。 * 柯西—黎曼方程 沿实轴 沿虚轴 可导，要求二者相等 必要条件 柯西—黎曼方程 * 必要条件 可导的充分条件: 的 存在，连续且满足柯西—黎曼方程。 * 1.4. 解析函数 在点 解析，即在这点可导。 为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。 性质 曲线族 相互正交。 即 由柯西—黎曼方程 两族曲线的梯度正交 两族曲线正交 (1) * 已知 U 求 V 当它们是某解析函数的实部和虚部 可由 (1) 曲线积分 (2) 凑全微分显式 (3) 不定积分 求出 满足拉普拉斯方程 由柯西—黎曼方程 调和函数 (2) * 例 求 解: u 是调和函数; (1) 二元函数的线积分，将来在热力学中出现。 全微分的积分与路径无关 * (2) (3) 视 x 为参量，对 y 积分 求 满足的方程 * 小结 复变函数的导数的定义是实函数导数定义的自然推广。 复变函数的可导性是很强的要求，必要条件是柯西－黎曼方程。充分条件是函数的实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西－黎曼方程。 解析函数是调和函数。 *