数学建模微分程建模.ppt

记 λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程： det（A-λI）=λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 。 讨论特征值与零点稳定的关系 （1）若△0，可能出现以下情形： ① 若q0，λ1λ20。 当p0时，零点不稳定； 当p0时，零点稳定 若q0，λ1λ20 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点 ③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。 （2） △=0，则λ1=λ2: λ有两个线性无关的特征向量 当p0时，零点不 稳定 当p0时，零点稳定 * ② 如果λ只有一个特征向量 当p≥0时，零点不 稳定 当p0时，零点稳定 （2） △0，此时 若a0，零点稳定 若a=0，有零点为中心的周期解 综上所述：仅当p0且q0时， （3.30）零点才是渐近稳定的；当p=0且q0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。 非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立: 定理2 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） 的平衡点也是不稳定的。 * §3.8 捕食系统的Volterra方程 问题背景： 意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在 1914~1923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加： 年代 1914 1915 1916 1917 1918 百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 年代 1919 1920 1921 1922 1923 百分比 27.3 16.0 15.9 14.8 10.7 他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。 * Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建立双房室系统模型。 1、模型建立 大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r1的指数律增长（Malthus模型），既设： 由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即： 对于食饵（Prey）系统 ： λ1反映了捕食者掠取食饵的能力 * 对于捕食者（Predator）系统 ： 捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即： 但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到： 综合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程组： （3.31） 方程组（3.31）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程组。 * 2、模型分析 方程组（3.31）是非线性的，不易直接求解。容易看出，该方程组共有两个平衡点，即： Po(0,0)是平凡平衡点且明显是不稳定，没必要研究 方程组还有两组平凡解： 和 和 所以x1、x2轴是方程组的两条相轨线。 当x1(0)、x2(0)均不为零时， ，应有x1(t)0且x2(t)0，相应的相轨线应保持在第一象限中。 * 求（3.31）的相轨线 将两方程相除消去时间t，得： 分离变量并两边积分得轨线方程： （3.32） 令 两者应具有类似的性质 用微积分知识容易证明： 有： 同理：对 有： * 图3-20 (b) 图3-20 (a) 与 的图形见图3-20 易知仅当 时（3.32）才有解 记： 讨论平衡点