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四、边界齐次化 * * * * * 第五章 积分变换法 * 第一节 * * * * 第二节 Fourier变换 * * * * * * * * * * * * * * * * * F/p 的物理意义为：单位质量物质在单位时间产生的热量 f 的物理意义为：单位热容量物质在单位时间产生的热量 * f 的意义为：单位质量的受力； * 确定微分方程的解需要附加条件， 附加条件的个数由最高导数的阶数确定。 * 分类 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 * 分类 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 * * * 第四章 分离变量法 * 第一节 波动方程 * * * * * 第二节 热传导方程 * * * * * 第三节 非齐次问题 * * * * * * * * * * * * * * * 将(1),(2)代入泛定方程得 * * * * 三、Bessel函数的递推公式 * * * 四、Bessel函数的正交性及模 * * * * * * * 第五节 Legendre函数 * * * * * * 二、Legendre多项式 * * * * * * * * * * * * * * 三、连带的Legendre多项式 * 3.定义：若函数系 在[a,b]上满足 其中 为权函数，则称函数系 在[a,b]上关于权函数 正交，或称按权函数 构成正交系。 * 二、广义Fourier级数 设 是定义在[a,b]上的一个正交函数系，f(x)是[a,b] 上给定的函数，设f(x)可以写成 的形式，其中 确定 ，将（1）式两端同乘 ，在[a,b]上积分 且假设级数（1）可逐项积分，则由 的正交性，有 * * 第三节 Sturm-Liouville问题 常微分方程 * * 方程（2）称为Sturm-Liouville方程，简记S-L方程， 其中 是与x无关的参数，p(x),q(x),s(x)都是实值且假 设q(x),s(x)连续， p(x)连续可微。 若函数p(x)和s(x)在[a,b]上为正，S-L方程称为[a,b] 上正则，当区间是无穷或半无穷，或当p(x)或s(x)在有限 区间的一个或两个端点处为零时， S-L方程称为奇异的。 * 1.S-L方程（2）+端点条件 一起 称为S-L问题，其中 对于使S-L问题有非零解的 值称为固有值，相应的 固有值 的非零解称为固有函数，因而， S-L问题有时 也称为固有值问题。 * * 3.定理 设S-L问题中的函数p,q,s在[a,b]上连续，对应于不同固有值 的固有函数 连续可微，则 在[a,b]上关于权函数s(x)正交。 证明：因为 是对应于 的方程的解，则 * * * * 4.推论 区间[a,b]上的周期S-L问题，属于不同固 有值的固有函数在[a,b]上关于权函数s(x) 正交。 * * * 例1.求解S-L问题 解：p=1,q=0,s=1 * * * 例1.求解周期S-L问题 * * * 第四节 Bessel函数 * * 二、Bessel方程和Bessel函数 Bessel方程的标准形式： * 下面求判定方程： * 根据定理，分两种情况讨论 * * * * * * * 显然 则（E） 其解为 故（D）的解为 * 定理（齐次化定理）设 是问题（D）的 解，则 是问题（B）的解。 * 证明： 所以 又 故满足（B）的初始条件。 而 满足 满足 * 第四节 三维波动方程的cauchy问题 一、三维齐次波动方程的cauchy问题 对一维波动方程的cauchy问题公式 * 是初始位置f与初