在运动变化中解决立体几何的动态问题.doc

PAGE PAGE 6浅析立体几何中“动态问题”的解决江苏省如皋市丁堰中学 王 军 （226521）立体几何中的“动态问题”，是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放问题。因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍；但又因其是可变的、开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养。本文利用运动变化的观点对几例加以分析，探求解决此类问题的若干途径。在运动变化中建立函数关系式点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函数，则可将立体几何问题用代数方法解决。例1．等边三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段DE折起，使平面ADE平面BDEC，若折叠后AB的长度为d，则d的最小值为（ ）ABDECFO A. B.ABDECFO分析：在此问题中，DE在三角形ABC中的位置是ABABDFEOC导致AF的变化，进而形成了折叠后AB的长度的变化。设AO=x，则，由此易知时，取得最小值为在运动变化中寻求变化的“轨迹”当点、线的变化满足某些约束条件时，往往能够形成其变化的轨迹，对其轨迹的寻求其实质是考虑运动变化过程中的所有可能情况、可能区域。例2．如图，正方体中，M是棱的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为（ ） A. B. C. D. 与P点的位置有关CDBOCDBOAMP任意一点，随着P点的变化，直线OP形成了一个“轨迹面”，即面，直线OP与直线AM所成的角即为考虑定直线OM与动直线形成的轨迹面之间的关系。易知，在运动变化中寻求与之相关的不变因素“动”与“静”是相对的，在运动变化过程中，要善于寻求或构造与之相关的一些不变因素，建立变量与不变量的有机统一体。例3．在棱长为a的正方体中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF，（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大时，求二面角的大小。CDBAEFGCDBAEFG在上取一点G构造平面，使之保持与垂直，在平面、平面内的射影分别为，所以G点的位置应满足BG=BE=FC，此时易知，则；，则，平面。（2）随着E、F点的变化，三棱锥的形状发生变化，但在变化过程中三棱锥的高不变，底面BEF中BE+BF= a为定值，利用方程控制变量的变化变量的变化受一定的制约，要求与之相关的一些量满足一定的数量关系时，可设出变量，使之满足相应的条件，利用方程解出变量的取值。ACFBDEABC例4．已知直三棱柱，，F为棱上的一点，，，（1）若D为BC的中点，E为线段AD上不同于A、D的任一点，证明：；（2）试问：若，在线段AD上的E点能否使EF与平面成角，为什么？证明你的结论。ACFBDEABC分析：（1）E点在线段AD上运动，则EF形成轨迹面ADF，要证明，只需证明，根据已知条件不难得到，则，计算可得。（2）E点在线段AD上运动，所需满足的条件是EF与平面成角。因为AD面，所以为EF与平面所成的角，设，则，，又因E点在线段AD上，，所以线段AD上的E点不能使EF与平面成角。利用极限思想考虑运动变化中的“极限位置”变量的变化过程无法达到确定的端点位置，而端点的情况恰恰影响着问题的思考，此时可利用极限思想考虑运动变化的极限位置。例5．正三棱锥的底面边长为，E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则EFGH的面积的取值范围是（ ）ABCSEFGHA、 ABCSEFGH分析：因为是正三棱锥，所以四边形EFGH为矩形，，，是确定的，，是变化的，考虑EFGH的面积的取值范围，其实质是SC的变化范围。因为是正三棱锥，S点在过的中心且垂直于面ABC的直线上运动，当S点处于无穷远的“极限位置”时，SC趋近于无穷大，当S点处于平面内的“极限位置”时，“SC”=，“”=所以，EFGH的面积的取值范围是（）。利用特殊化思想考虑运动变化中的特殊位置随着变量的变化，与之相关的一些量在变量变化过程中保持不变，此时可考虑变量变化过程中的特殊位置（便于问题解决的位置）。BACPQ例6．直三棱柱的体积为V，P、Q分别为侧棱上的点，且BACPQ A． B. C. D.分析：P、Q点是变化的，但相互之间存在着条件的牵制，使得四边形APQC的面积为定值，而B点到面APQC的距离为定值，所以四棱锥B-APQC的体积为定值，考虑特殊位置，，则易知转化题设条件，建立直接联系变量的变化引发相关量的变化，可构建目标函数加以解决，但有时变量的“传递”次数较多，所构建的目标函数太复杂，不便于问题的解决，此时可转化题设条件，利用中间