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线性代数 历年试题及参考答案 河南科技大学 2000年-2004年 1999级线性代数试题 判断题：（共24分） 若A，B均为n阶方阵，则必有： AB＝BA ( ) |AB|＝|BA| ( ) |A+B|＝|A|＋|B| ( ) ( ) ( ) R（AB）＝R（BA） ( ) 若 A2＝0，则A＝0 ( ) 若ATA＝0，则A＝0 ( ) 2（8分）若A是m×n矩阵，且m≠n，则 当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关 ( ) 当R(A)=n时，齐次线性方程组AX＝0只有零解 ( ) 当R(A)=n时，非齐次线性方程组AX＝b，有唯一解 ( ) 当R(A)=m时，非齐次线性方程组AX＝b，有无穷多解 ( ) 3（8分）若A是实对称矩阵，则 A的特征值全为实数 ( ) A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正 ( ) 若|A|＞0，则A为正定的 ( ) 在二次型f＝XTAX中，若经实满秩线性变换X＝CY，可将f化为 标准形 则全为A的特征值( ) 填空题（19分） 1 （4分）设且A＋2B＝C，则x=_____, y=______, u=_____, v=_______ （6分）若A为四阶方阵，且|A|＝3，A＊为A的伴随矩阵，则 |－2A|＝＿＿，|A－1|＝＿＿， |A＊|＝＿＿ （3分）方阵的特征值为＿＿，＿＿，＿＿ （4分）已知四元非线性方程组的系数矩阵A的秩为3，是它的三个解向量，且，则对应齐次方程组AX＝0的基础解系是＿＿＿＿ ，AX＝b的通解是＿＿＿ 二次型所对应的矩阵是＿＿ （10分）1、计算 2 、已知A =求及 （10分）设，且，求B （15分）验证二次型的特征值为4，9，0，求一个正交变换，将此二次型化为标准形。（要求写出正交变换矩阵及f的标准形） (12分)设，，， 试问当a，b满足什么条件时， （1）可由线性表示，且表示式唯一； （2）不可由线性表示 （3）可由线性表示，但表示式不唯一写出一般表达式 （10分）证明题 1 若A，B均为n阶正交矩阵，试证明AB也是正交矩阵。 2 若和是齐次线性方程组AX=0的基础解系， ，,试证明也是AX=0的基础解系。 1999级线性代数参考答案 一、1、×√×××××√ 2、×√×√ 3、√√×× 二、1、-5，-6，4，-2 2、48，，27 3、3，0，5 4、， 5、 三、解：1、 2、记、则：、, 、 故：， 四、解：由可得： 五、解：该二次型的矩阵为： 由特征方程 得特征值 当，解齐次方程 基础解系 单位化： 当，解齐次方程 基础解系 单位化： 当，解齐次方程 基础解系 显然，该向量组两两正交，单位化得： 记， 于是正交变换为： ，且有. 六、解： 所以：当时，可由线性表示，且表达式唯一； 当时，不可由线性表示； 当时，可由线性表示，且表达式不唯一。 当时，由得通解为： 故：一般表达式为： 七、证明： 1、由于、，所以 也是正交矩阵。 2、由于可由线性表示，并且 ， 也可由线性表示 向量组与向量组等价 也是的基础解系 2000级线性代数试卷 判断题（每小题2分，共14分） 设方阵A满足AA=A，则必有A=O或A=E 设A，B是不可逆的同阶方阵，则 向量组是线性相关的向量组 齐次线性方程组若有两个不同的解，它就有无穷多个解 方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值不全为零 对称矩阵A正定的充分必要条件是 若方阵A与B相似，则与也相似，其中m为正整数. 填空题（每小题2分，共24分） 设，则； ，且AB=C，则；又若C=O，则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 若方阵A满足，则称A为；此时 若，B的特征值是1，2，3，则A的特征值是 设与设相似，则其中；对称阵A的二次型；它经过正交变换X=PY化为标准型是；二次型（是，不是）正定的 设向量组，对参数k的所有值求出向量组的秩及一个最大无关组（12分） 已知，求矩阵A（10分） a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分） 设， 1.求正交阵P,使得为对角阵; 2.设,利用A与相似,求出矩阵; 3. 求矩阵的特征值 （共16分） 证明题（10分） 设向量组线性无关，且 ， 证明：线性相关 2．若A，B均为n阶方矩，且A可逆，证明：BA与AB相似 2000级线性代数参考答案 判断题 错。例如二阶方阵，且，但 正确。因为