2005年高考新题征展.doc

2005年高考新题征展 题目1：设是等差数列，且，记 ，求证：。 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴。 题目2：在中，已知，，，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使得为正三角形，记为，问取何值时，边长最短，并求此最短边长。 解：如图：∵，， ∴，， 设的边长为，则 ∴ ∵ ∴ 由正弦定理可得： ∴（此时，） ∴当时，即时，边长最短，最短边长为。 题目3：经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点。 （1）若线段AB的中点为，直线的斜率为，试求点M的坐标，并求点M的轨迹方程； （2）若直线的斜率，且点M到直线的距离为，试确定的取值范围。 解：（1）设，，直线AB的方程为： 把代入得： ∴ ∴ ∴ ∴点M的坐标为； 消去可得点M的轨迹方程为：； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴或 ∴或 ∴ ∴的取值范围为。 题目4：如图，过点O的两条抛物线的弦OP、OQ与轴的夹角均为，长分别为2、4。 （1）求此抛物线方程； （2）OP的中垂线交抛物线于A、B两点，求四边形OAPB的面积。 解：（1）点P、Q的坐标分别为、， 设抛物线方程为，则 解之得 故抛物线方程为。 （2）OP的中点M的坐标为，可得AB的方程为： ， 代入抛物线方程并消去可得， 则且， 则。 又∵，则 ∴四边形OAPB的面积。 题目5：已知椭圆方程，过椭圆上点A（1，）作两条倾斜角互补的直线，与椭圆分别交于异于点A的点B和点C。 （1）求直线BC的斜率； （2）证明：直线OA平行于直线BC； （3）若直线BC在y轴上的截距为2，求△ABC的面积S1； （4）若四边形OABC为平行四边形，求△ABC的面积S2； （5）若△ABC的面积为S，求S的最大值. 解：（1）设直线AB的斜率为k，k 则直线AB的方程为y－=k(x－1)，即y=k(x－1)+，代入可得：2[(x－1)+1]2+[k(x－1)+]2=4，即(x－1)[(2+k2)(x－1)+4+2k]=0 ∴=1－= ∴B(1－) 把上式中的k换成－k，可得： C(1－) ∴=. （2）由（1）可知直线BC的斜率= 而直线OA的斜率= ∴= ∴直线OA平行于直线BC. （3）由（1）可知直线BC的斜率= ∴直线BC的方程为y=x+2，即x－y+2=0 ）到直线BC的距离h= 把y=x+2代入可得：2x2+(x+2)2=4，即x2+x=0 ∴+=－·=0 ∴+=+2++2=2，·=(+2)(+2)=0 ∴= = ∴S1==××=. （4）由（1）可知直线BC的斜率= 设直线BC的方程为y=x+b，即x－y+b=0 y=x+b代入可得：2x2+(x+b)2=4， 即4x2+4x+b2－4=0 ∴+=－·= ∴+=+b++b=2b－2 ·=(+b)(+b)=b2－2b－2 = = ∵= ∴= ∴b=，即x－y ）到直线BC的距离h= ∴S2==××=. （5）由（1）可知直线BC的斜率= 设直线BC的方程为y=x+b，即x－y+b=0 y=x+b代入可得：2x2+(x+b)2=4， 即4x2+4x+b2－4=0 ∴+=－·= ∴+=+b++b=2b－2 ·=(+b)(+b)=b2－2b－2 = = 又∵点A（1，）到直线BC的距离h= ∴△ABC的面积为 S==××=≤. 当且仅当b2=6－b2b=时，S取最大值，最大值为. 题目6：如图1，在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AC=10㎝，BD=6㎝。 （1）求线段MN的取值范围； （2）异面直线AC与BD所成的角为，求线段MN的长度； （图1） （图2） （图3） 解：（1）如图2，取AD的中点E，连结ME、NE， 则ME∥BD，NE∥AC， 则， ∵在中， ∴，即。 （2）如图2，取AD的中点E，连结ME、NE， 则ME∥BD，NE∥AC， 则， ∴ME与NE所成的锐角就是异面直线AC与BD所成的角 ∴或 ∴在中， ，即； 或，即。 题目7：在中，求证： ，等号当且仅当为正三角形时成立。 证明：∵ = 同理， ∴连加证得原不等式正确，其中等号当且仅当为正三角形时成立。 题目8：已知关于的二次方程有实根。求实数的值，并求此时该方程的根。 解：将原方程变形得 依题意可得 （1）－（2）得 （ⅰ）当时，，代入（1）得，这与相矛盾。 （ⅱ）当时，， ①当时，代入（1）式得，这与相矛盾。 ②当时，代入（1）式得，解得。 总之，所求实数，此时方程的实根为。 题目9：函数的定义域为（为实数）。 （1）当时，求函数的值域； （2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （3）若时，判断函数的单调性并证明； （4）求函数在上的最大值