多元函数极限 - 浙江师范大学网络课程.pptVIP

* 多元函数的极限与连续 重极限与累次极限 浙江师范大学数学系 二元函数极限的定义 例1 讨论函数 等值图 解 当点(x,y)沿任何直线趋于原点时， 但是，当点(x,y)沿抛物线 y=k x2(0k1)趋于点(0,0)时， 当 时的极限. 总有 有 例2 设 图像 证 作极坐标变换 x= rcos? , y= rsin? . 由于 什么值都有| f(x,y)-0| ?, 不论? 取 因此，对 例3 讨论函数 函数图像 等值图 分析： 则有 f(x,y)=f(rcos?,rsin?) 当 ? =0, ?/2, ?,3?/2 时，上式的值为0； 当 ? 取任一给定的且不等于k?/2(k=0,1,2,3)的值时， 总有： 作极坐标变换 x = rcos? ,y = rsin? ( ), 当 时的极限. |f(rcos?,rsin?)|? 下面我们对例2和例3中的过程作一个比较. |f(rcos?,rsin?)|? 对例2，用 “ ” 语言表示为： 恒有 对例3，用 “ ” 语言可表示为： 对 解 当(x,y)沿抛物线x=ky2趋于点(0,0)时, f(x,y)=f(ky2,y) 当 k=1和k=2时，上式的值分别是 因此， 注： (ⅰ) 求二元函数极限的一般思路是转化为 一元函数的极限来处理. (ⅱ) 极坐标变换是转化为一元函数极限的常用方法之一， 但要注意的是：极限 必须关于? 一致成立. 二、累次极限 定义3 存在极限 而且进一步存在极限 则称此极限L为二元函数 f 先对x(→x0)后对y(→ y0)的累次 极限，并记作 设Ex, Ey R, x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点, 二元函数 f 在集合D＝Ex Ey 上有定义. 若对 0 y0 x 0 重极限存在与累次极限存在之间有什么关系？ 0 (x0,y0) 例4 求函数 在点(0,0)的重极限和累次极限. O x y O 若将函数定义修改为 则有: 但仍然有 此时，两个累次极限存在且相等，但重极限不存在. O x y O 例5 讨论函数 在点(0,0)的重极限和累次极限. 解 当y≠0时， 同样，当x≠0时 但由于 因此， 函数图像 0 y0 x 0 重极限与累次极限的关系分析图 定理16.6 若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限 且存在δ0, 对任意 x ∈U0(x0; δ),存在极限 也存在，且 则累次极限 在(*)式中令y→y0, 这就说明了 =A. 证明 点(x0,y0)记为P0, 由定义，对 当 时，有 取 (*) 由条件，对 存在极限 则当 时, 定理16.6 若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限 与累次极限 则它们必相等. 如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？ 如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？ * * *