多参数问题解法.docVIP

多参数问题的解法 常用方法有：一、分离变量法。若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例1．已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2xa+5 要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33, ∴a+53即a+2 上式等价于或，解得a8. 说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 另解（先确定主元）：a+cos2x54sinx+即 a+12sin2x54sinx+,令sinx=t,则t[1,1], 整理得2t24t+4a+0,( t[1,1])恒成立。 设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1, f(x)在[1，1]内单调递减。 只需f(1)0,即a2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于 对于任意x∈R恒成立。 不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3) 不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=, 即k≤1或k≥2,-----------(4) 由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。 说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。 二、选择恰当的参数作为主元（其余视为常量） 例3、已知f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,且f(1)=1，若a,b∈［-1,1］,a+b≠0有＞0. （1）判断函数f(x)在［-1,1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式f(x+)＜f( （3）若f(x)≤m-2am+1，对所有x∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立，求实数m的取值范围. 解答：（1）任取x∈［-1,1］,且x＜x，则-x∈［-1,1］,又f(x)是奇函数，于是有： f (x)-f (x)=f (x)+f (-x)=·(x-x),由已知＞0,x-x＜0, 所以f (x)-f (x)＜0，即f (x)＜f (x).所以函数f(x)在［-1,1］上是增函数. (2)因为函数f(x)在［-1,1］上是增函数，所以不等式f(x+＜f(等价于不等式组： 由①得-由②得x0，或x≥2;由③得x＜-1,或1＜x＜ 所以原不等式的解集为{x|-＜-1}. (3)因为函数f(x)在［-1,1］上都是增函数，且f(1)＝1,故对所有的x∈［-1,1］,有f(x)≤1. 由已知，对所有的x∈［-1,1］，a∈［-1,1］,f(x)≤m，有m≥1成立，即m≥0.记g(a)=-2am+m∈［-1,1］，g(a) ≥0成立，只需g(a)在［-1,1］上的最小值大于等于0.即解得：m≤-2,或m=0，或m≥2. 故m的取值范围为m≤-2,或m=0，或m≥2. 注：第（1）中的a,b可分别视为，第（3）涉及到3个变量x,m,a，对于右边的两个参数m,a要善于选择恰当的参数作为主元，运用一次函数的单调性。 例4、 分析： 2、 分析：选择A。 三、根据函数的单调性、值域特征或不等式的解集特征对多参数分步讨论 例5、已知函数，（1）若在［1，）上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在［m，n］上的值域是，求实数a的取值范围。 解答：（1）在（1，）上恒成立，即恒成立，设 则在（1，）上恒成立 在［1，）上单调递增故即 的取值范围为（，3），（2）由题意知时，由（1）知在（0，）上单调递增 ，有两个不相等的正根 即有两个不相等的正根m，n 例6、已知不等式x2–3x+t0的解集为{x|1xm, m(R}(1)求t, m的值； (2)若f(x)= –x2+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式log a (–mx2+3x+2–t)0的解集。 解答：(1) 由条件得：，所以 (2)因为f(x)= –(x–)2+4+在(–∞,1)上递增， 所以≥1，a≥2 lo