绪论与放射性测量中的统计学基础9.ppt

* 平均值和方差的公式推导参见概率论与数理统计方面的书 二级“串级”型随机变量的性质 （1） （3）由二个“伯努利”型随机变量串级而成的随机变量仍是“伯努利”型。 （4）由遵守泊松分布的随机变量?1 (第一级)与伯努利型随机变量?2 (第二级)串级而成的随机变量?仍遵守泊松分布。 （2） 放射性衰变规律 N=N0 e-?t t=0时刻，N0个原子核，衰变常数为?，在经过t时间后未发生衰变的原子核数目为 T1/2=ln2/λ 与半衰期的关系如下： 222Rn的衰变图 放射源 放射源是用天然或人工放射性核素制成的、以发射某种射线为特征的制品。根据放射源按所释放射线的类型可分为α 放射源、β放射源、γ放射源和中子源等。 常用的放射源详见《核辐射探测与测量》讲义的附录5－10。 核衰变的统计分布 t=0时刻，N0个原子核，衰变常数为?，则任何一个核在t时间内发生衰变的概率为p=1-e-?t，不衰变的几率为q= e-?t, 那么在t时间内发生衰变数为n的几率为 二项式分布的平均值和方差 数学期望 方差 对于原子核衰变： 假如?t1，即时间t远小于半衰期，可不考虑源活度的变化， 上式可简化为： 二项式分布有两个独立的参量N0和p，用起来不方便，计算也较复杂。 对于核衰变来说，一定条件下，二项式分布可以简化为泊松分布或高斯分布。 数学期望 方差 泊松分布 对于二项式分布，当N0很大时，且?t1时，令m= N0p N0，则得到 泊松分布中只存在一个参数，即平均值m，m＝N0p 对于N0不小于100，而p不大于0.01时，泊松分布能很好地近似于二项式分布。 泊松分布的对称性 当m较小时，分布是不对称的；若m较大时，分布逐渐趋于对称。 高斯分布 高斯分布是二项式分布在取样次数n趋近于无穷时的极限情况。 数学期望 方差 m=?2,特殊的高斯分布 通常在m1时，可以用高斯分布来代替二项式分布 高斯分布的对称性 高斯分布是对称的。 一般当m?20时，泊松分布就可以用高斯分布来代替了。 二项式分布和泊松分布：n是离散性随机变量； 高斯分布：n可以是离散变数，也可以是连续型随机变数。 对于连续高斯分布函数P(x) 理解为在x处的概率密度函数： 则 原子核衰变数落在某一数值区间[n1,n2]的概率： 当n很大时，为计算方便，可用下式代替： 高斯分布连续对称，可以方便的计算测量值出现在 区间内的概率，即： 令： 可由高斯函数数值积分表查得。 正态分布 概率积分表 举例 设衰变核素平均值为m,求其观测值落在 范围内的概率 当m很大时，测量值落在m附近的一个小范围内。 因此，通常可用一次测量值n来代替平均值m。 二项式分布 泊松分布 高斯分布 E（n） N0p m=N0p m D（n） N0p(1-p) m=N0p m n的取值 整数值 整数值 整数，连续型随机变数 对称性 m小时不对称 m较大时（m6）对称 m20时可用高斯分布代替 对称 独立参数 N0 ,p m m N0100,p0.01 m20 Ω 源发射粒子数n1 射入探测器粒子数n2 探测器输出脉冲数n3 脉冲计数器的测量过程可以概括为三个基本过程，其计数值为一个三级串级型随机变量。 举例：计数过程描述 整合为一个过程，把探测立体角作为探测效率?的一部分 计数的统计分布 两个随机过程： 核衰变 探测器计数 当入射到探测器的粒子数N服从平均值为M的泊松分布时，引起的探测器计数n服从平均值为M?的泊松分布。当n比较大时，即M?1，泊松分布可以化为高斯分布。 作业一 计数的统计误差 由于随机过程的统计性会引起随机变量测量值与真实值之间产生差别。 在放射性测量中，一次测量或有限次测量值的平均值都不是真平均值，他们只能在某种程度上作为真平均值的近似值。这种误差是由于放射性核衰变和射线与物质相互作用的统计性引起的，称为统计误差。 与非放射性物理量测量中的偶然误差的异同 二者服从的分布是相同的，一般认为是高斯分布； 但，二者来源不同 方差和期望值的关系不同 偶然误差是由于测量时受到各种因素的影响造成的，但被测物理量本身在客观上是一个确定不变的数值； 统计误差是由于被测物理量本身有涨落造成的，与测量过程无关。 放射性计数值的统计误差与计数值本身有联系，表现为方差与计数的期望值相等，偶然误差不具有这样的性质。 样本方差 放射性测量的计数值服从正态分布，标准误差为： 仅由统计涨落引起 反映