孙子定理探讨与应用.docVIP

摘要 本文主要讨论了的背景、由来、证明方法以及一些简单的应用, 文中阐述了的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，生活方面的应用在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解.的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义，而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用关键词：ABSTRACT This paper mainly discusses the background, origin, method to prove the Chinese Remainder Theorem and some simple applications, this paper expounds the origin of the Chinese remainder theorem, introduces several methods of it, and the other in polynomial, application of life. The Chinese remainder theorem based on the initial application in high school, Elementary number theory in University in this theorem are carefully explained. Thought method and the principle of Chinese remainder theorem not only has the glorious historical significance in modern mathematics, and still have important influence and role. Keywords : Congruence; linear congruences; congruence group; Chinese remainder theorem目 录 前言 I 第一章 同余 1 1. 同余的概念及性质 1 2. 一次同余式的解法 2 第二章 孙子定理 6 1.孙子定理定理的由来 6 2.孙子定理的证明 6 3.孙子定理的解法 9 3.1列方程组法 9 3.2不定方程解法 9 3.3同余解法 10 3.4 用孙子定理解答 11 第三章 孙子定理的应用 12 1.在古典问题中的应用 12 2.在数学奥林匹克中的应用 13 3.在初等数学中的应用 13 4.在生活中的应用 14 参考文献 15 致谢 16 前言 孙子定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？”“答曰二十三”. 对于答案的求法书中做出了如下的叙述： “术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三；以二百一十减之即得.” 上述问题用同余式来表示，就是 《孙子算经》中给出最小正整数解, 解法传至今世.“孙子定理”又称“中国剩余定理”.它是初等数论中重要定理之一，在代数数学和计算机领域中也有重要应用.本文主要讨论孙子定理的背景以及证明. 第一章 同余 1. 同余的概念及性质 定义1.1 给定一个正整数，把它叫做模.如果用去除任意两个整数所得的余数相同，我们就说对于模同余，记作 . 读作与对于同余.此式也称同余式.如果对于模的余数不同，就说对于模不同余，记作，读作：与对于不同余. [4] 定理1.1 数的充分必要条件是：， 即. [4] 证明 ，，，. 若，则.因此，. 即， ∵ ∴， 即 故， 即. 定理1.2同余的三个基本性质： [4] ⑴（反身性）； ⑵若，则（对称性）； ⑶若，，则（传递性）. 定理1.3 若，，则有： [4] ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； [6] 己 若，且，，， 故，即； 庚 (ⅰ）， 则； (ⅱ) 若，是，及的任一正公因数，则 ； 辛 若，，则 . 2. 一次同余式的解法 定义2.1 如果都是整数，是一个正整数，那么当时，我们把