对坐标曲线积分 1.pptVIP

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 三、两类曲线积分之间的联系 * §10．2 对坐标的曲线积分 三、两类曲线积分之间的联系 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 第二类曲线积分的定义、 定义的推广 对坐标的曲线积分的性质 变力沿曲线所作的功： 设在xOy面内有一个质点，在变力F(x, y)?P(x, y)i?Q(x, y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(x, y) 所作的功． O x y A B F(x , y) L 变力沿曲线所作的功： O x y A B L 用点A?A0，A1，A2，· · · ，An?1，An?B把L分成 n个小弧段， A1 A2 Ak Ak+1 An-1 F(xk , yk) 显然，变力F(x, y)沿有向小弧段 AkAk+1 所作的功可以近似为 ?[P(xk , yk)costk ?Q(xk , yk)sintk]?sk ． 则 于是，变力F(x, y)所作的功 从而 这里t?t(x, y)，{cost, sint}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致 的单位切向量． 对坐标的曲线积分的定义： 设L为xOy面上一条光滑有向曲线，{cost, sint}是与曲线方向 一致的单位切向量，函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义． 如果下列 二式右端的积分存在，我们就定义 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分． 定义的推广： 设G为空间内一条光滑有向曲线，{cosa, cosb, cosg}是曲线在 点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x, y, z)、 Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义．我们定义(假如各式右端的积分 存在) 对坐标的曲线积分的简写形式： 对坐标的曲线积分的性质： (1) 如果把L分成L1和L2，则 (2) 设L是有向曲线弧，?L是与L方向相反的有向曲线弧，则 二、对坐标的曲线积分的计算 应注意的问题： 下限 a 对应于 L 的起点，上限 b 对应于L的终点，a不一定 小于b ． 定理：设P(x, y)、Q(x, y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数 方程为 当参数t单调在由a 变到b 时，点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终 点B，则 若空间曲线G由参数方程 x?j(t)，y =y (t)，z?w(t) 给出，曲线的起点对应于t=a ，终点对应于t=b ，那么曲线积分 讨论： 如何计算？ {P[j(t), y(t), w(t)]j?(t) ?Q[j(t), y(t), w(t)]y?(t)?R[j(t), y(t), w(t) w?(t)]}d t． 提示： B(1, 1)的一段弧． 解 第一种方法：以x为积分变量．L分为AO和OB两部分． 因此 y x O 1 -1 1 B(1, 1) A(1, -1) B(1, 1)的一段弧． y x O 1 -1 1 B(1, 1) A(1, -1) 解 第二种方法：以y为积分变量． L的方程为x?y2，y从?1变到1． 因此 x?y2 (1) L为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周； (2) L为从点A(a, 0)沿x轴到点B(?a, 0)的直线段． q 从0变到?． 解 (1)L 的参数方程为 x?a cosq，y?a sinq， x y O A(a, 0) B(?a, 0) (2)L的方程为y?0，x从a变到?a． 因此 因此 (3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1)． O x y A (1, 0) B(1, 1) y?x2 x?y2 (1)抛物线y?x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； (2)抛物线x?y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； 解 (1)L：y?x2，x从0变到1．所以 (2)L：x?y2，y从0变到1．所以 (3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1)． O x y A (1, 0) B(1, 1) y?x2 x?y2 (1)抛物线y?x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； (2)抛物线x?y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； =0+1=1． 解 (3)L=OA+AB， 点B(0, 0, 0)的直线段． x?3t，y?2t，