对高中数学人教B版选修2—2《导数及其应用》中概念公式教学到位与 ....docVIP

对高中数学人教B版 选修2—2《导数及其应用》教学的到位与越位的思考（本文被教育部中学数学实验教材研究组评为一等奖） 微积分学在数学以至整个自然科学中占有重要的地位，微积分学是人类思维的伟大成果之一，它的产生和发展被誉为“近代技术文明所产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的﹑﹑﹑﹑﹑,附近，函数变化的慢一些，曲线变得“平缓”。 平均变化率学习时，利用直线分析变化率、倾斜角、斜率的关系，k=tanα= 当倾斜角为锐角时，k0，倾斜角越大，则越大；当倾斜角为钝角时，k0，倾斜角越大，则越大。这样在用导数求函数单调区间时就能水到渠成了。 教材通过具体实例和给定时间变化量的具体值分析了瞬时速度与平均速度的关系：瞬时速度是当趋近于0时平均速度所趋近的常数值。这一分析过程所体现的无限逼近思想，实际是一种极限思想。 瞬时变化率概念的教学应注意对时，的理解 新授课时可先让学生参照Ｂ版课本的表格体会与0的距离要多近有多近，即小于给定的任意小的正数，但。同理可理解。 为了帮助学生理解导数的概念，可以根据理科学生所学的物理知识来理解。导数就是一个量对另一个量的变化率，在物理学中的基础，例如物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等。 二、 导数的应用的教学 “新课标”在课程的观念、目标上的一个发展，就是在数学学习和数学教学中更加强调对数学本质的认识与理解。无论是基础知识、基本技能、数学的推理与论证、数学的应用，都必需牢牢把握这一主线。在《导数》的教学中，通过对函数性质的再研究，再次提升对函数概念及其本质的认识。 教学必须达到课程标准的要求，在教学过程中应当把导数的应用——研究函数的单调性和最值作为教学的重点内容，利用导数研究函数图象的大致形状和利用导数证明不等式也是高考命题的方向。 （一）导数在函数单调性问题上的应用。 若函数在区间I上单调增加（单调减少）对于I中的任意，有 （ ），因此我们通过导数来求出函数的单调区间。 例1．讨论函数的单调性。 解：函数的定义域为， 令，得。它们将分成了三个区间。 因为导函数在每个区间上符号不变，所以在区间某一点的符号就是导函数在该区间上的符号。例如：，而 ，即导函数在区间是正号，不难判断 因此函数在与增加，在减少。 作表如下： + - + ↗ ↘ ↗ 其中“↗”表示增加，“↘”表示减少 （二）．函数的极值、最值。 函数极值的判别法：若函数在可导，且，存在有 则是函数极大值点（极小值点）。为极大值（极小值）。 函数最值归结为求导函数在令点及区间端点函数值中的最值。 例2．求函数 ，的极值、最值。 解：因为 令， 得 　又因为 x （，） － 0 + ↘ ↗ 由表中可知，为函数的极小值点，。 当时，，所以在区间上最大值为，最小值为， （三）．利用导数解决不等式的问题。 1只含一个字母（不妨设为）的不等式：“，” 令，，求H（x）在区间I上的最小值（可在区间I的端点处），有H（x） 0 即可。 例3．求证：，有不等式 证明：分别证明这两个不等式 左端不等式，设 对任意的，有， 从而函数在增加。且，于是 对于，有 即对于任意，有 。 右端不等式 设 有，从而函数在增加 .于是，对于任意，有 . 即对任意，有 综上所证，任意，有不等式 　　　　。 2含有多个字母的不等式： 证法一：将一个字母看作变量，其它字母看作常数（参数），然后按上述“1只含一个字母的不等式”的证明方法证明。 （2004全国） 证法二：找出两个字母，不妨设为 ，然后将不等式变形为 形式， 然后用的单调性证明。 （2001年全国高考） 即： （四）．用导数证明恒等式 ） （五）解析几何中的应用 1．曲线上的点到顶点的距离 2、求圆锥曲线的切线 同理可得椭圆、抛物线的切线方程。 （六）作函数图像 学微