数学与应用数学行简化梯形矩阵唯一性证明及应用.docVIP

目 录 1 引言 (1) 2 符号说明、基本定义、性质和命题 (1) 2.1 符号说明 (1) 2.2 初等行变换 (1) 2.3 矩阵的行等价 (1) 2.4 行简化梯形矩阵和主元列的定义 (2) 3 行简化梯形矩阵唯一性定理的证明 (2) 3.1 矩阵的行简化梯形矩阵的存在性 (2) 3.2 证明唯一性 (2) 4 行简化梯形矩阵的一些简单应用 (5) 4.1 化矩阵为行简化梯形矩阵，并确定主元列 (5) 4.2 应用行化简算法解线性方程组 (5) 4.3 行简化梯形矩阵的唯一性的两个重要应用 (7) 5 与已有的证明方法进行比较 (7) 6 对一些文献资料的思考 (8) 结束语 (9) 致谢 (9) 参考文献 (9) 行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用 （莆田学院数学系 指导教师：） 摘要：行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形,也称为行标准形或行最简形.它在线性代数中有着重要的应用,在国内外很多的教材中都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的,但对此唯一性很少给出证明.本文在前人已有证明的基础上给出了另一种证明方法,并总结出了它的几个应用.通过几种证明方法间的对比,来分析本文的证明过程与已有证明方法的不同之处.最后对几个文献资料进行了思考,指出了其中存在的错误,并说明了自己的一些看法. 关键字：行简化梯形矩阵 唯一性 行等价 同解线性方程组 矩阵证法 Hermite标准形 Abstract: Reduced echelon matrix is a form of matrix and also known as a row-canonical form or a row-easiest shape. It is very important in linear algebra. Many text books at home and abroad give the definition and application of the Reduced echelon matrix and show that it is unique, but few gives the proof for the conclusion. In this paper, we give another proof on the basis of the priors and introduce several applications of the Reduced echelon matrix. Then by comparing to the priors, we explain the differences between them. Finally, we point out some errors in some literatures and give some comments. Keywords: Reduced echelon matrix Unique Line equivalent Linear equations with the same solution Matrix Proof Hermite Standard Form 1、引言 行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，在线性代数中有着重要的应用（见文[1，2，3，4]等），但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教学上.“而[2]中虽亦列有唯一性定理,但未给出证明,只是说:‘这个定理的证明是十分麻烦的,我们省略它’.”[1]对行简化梯形矩阵唯一性的证明，前人至少已给出四种证明方法（见文[1]、[5]、[6]、[7]）,可将它们归类总结为：一类是应用线性空间的知识进行证明（见文[1]、[6]、[7]），另一类是用矩阵证法（见文[5]）.这两类方法具有各自的特点.由于这两种方法所用的知识较多，不适合将它们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一.所以，寻找另一种应用工具简单、适合用于课堂进行同步教学的证明方法是非常有必要的.在深刻认识此课题的研究意义之后，现给出此唯一性的另一种证明方法. 2、符号说明、基本定义、性质和命题 2.1、符号说明 数域 矩阵 阶单位矩阵 等价关系 矩阵的第行 2.2、初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵施行下列某个变换： (1)交换矩阵的第行和第行,记为；(对换变换) (2)用一个不等于零的常数乘矩阵的第行,记为；(数乘变换) (3)将矩阵的第行乘以一个常数，加到第行,记为.(倍加行变换) 命题1（