数学论文-定积分中几何直观方法与不等式证明（HU修改）.docVIP

定积分中的几何直观方法与不等式的证明 （孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000） 摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分与进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列 1　引言 文[1]中给出了一个不等式： 　　　　　　　 　（）　　 　 　 （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】　设且，，，则有 （2） 文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分与进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】： 命题1的证明【4】 当，时，对于，有，即 ， 两边取积分，得 　　　　　　　　　，　　　　　　（3） 即得 　　 　 （4） 对（3）两边分别求和，即得 　　　　　　　　　　　 　（5） 命题1得证。 该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。 （图1） 在文[5]中，又把（1）式推广为： 命题2【５】　已知为等差数列且，公差，则 　 （6） 其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。 ２　主要结果 下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为 定理1 设为等差数列且，公差，，，，则 （7） 为证明定理1，先证明下面的引理 引理1　设为等差数列且，公差，，，，则 （8） 证明　因为数列是等差数列，且，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为，不妨令，则有 即 　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　 　 　（9） 对（9）两端在上取积分，有 （10） 即 （11） 由（11），即得 定理1的证明　由引理1可得 （12） 对（12）式的两边同时求和，得 即 故有 同理，由 （13） 对式（13）的两边同时求和，可得到 故定理1得证。 引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。 （图2） 如果注意到函数（）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质： 性质1　任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质2　曲线总在它的任一切线的上方。 那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到 定理2　设为等差数列且，公差，，，，则 （14） 证明　因为（）是下凸函数，由上述两条性质，得 　 即得 　　　　（15） 对（15）两端在上积分，得（14）成立。 定理2证明的几何意义，可参考下面图3。 （图3） 推论1　当，时，有 该结果显然比（4）的整数部分． 解　由（1）式，得 于是可以判断，故。 例2【１】 试求的值，式中 ． 解　由命题1，可得 所以。 设，求不超过的最大整数． 解　对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，（），令数列的通项公式为，，， 由定理1，可得 即 所以。 例4 设，求的近似值（绝对误差不超过）． 解　记数列是以为首项，公差的等差数列，那，这里，由定理1，得 即 由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.0580.06，故s可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。 4　其它应用 在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式： 命题3【６】　 设,则 　　　　　　　　　　　　　　　　（16） 当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。 原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？ 考虑函数与，，则由，