数学论文-希尔伯特空间中子空间闭性与补性.docVIP

希尔伯特空间中子空间的闭性与补性 (孝感学院数学系031114112) 摘要：本文主要讨论了内积空间中子空间所需的条件,并证明了以下主要结果： （1） 设是内积空间,是中的子空间，则的子空间,使得. （2） 若是内积空间,是中的有限维子空间,则;设是无限维内积空间,是中的无限维子空间,则不一定成立． 关键词：内积空间；直交补；子空间；闭集. Hilbert space neutron closed space with the complementary nature Huang xue-mei (031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University) Abstract: This article mainly discussed the inner product space neutron space to satisfy the condition which needed, and has proven below the main result: (1)supposes is the inner product space, is center sub- space, then when also only when has sub- space, causes . (2)if is the inner product space, is center finite-Dimensional the sub- space, then establishment; Supposes is the infinite Uygurinner product space, is center infinite Uygur sub- space, then not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space; Is perpendicular to makes up; Sub- space; Closedset. 0 问题的提出 在文献[1]中提出了如下问题：“Let be a space, is a subset of ,then is a closed subspace.Prove the conclusion.Beacause is closed,every vector in can be decomposed into ,where is in .If is also a subspace，can we conclude that ? why?” 在文献[2]中,只证明了是Hilbert空间的闭子空间时,有及 成立．本文将讨论当是内积空间的子空间时,及在哪些条件下成立,并给出证明;文献[8]研究了模糊内积空间中的投影定理,本文将探讨一般内积空间中投影定理成立的条件,并试图减弱文献[2]中的投影定理的条件. 本文中,用表示与的内积;用表示的范数(由内积导出的范数即);当且仅当;为的直交补; 为的线性包;是的闭包;是线性包的闭包;是闭包的线性包; ,; 表示空集;若内积空间是复的内积空间时,是复数域;若内积空间是实的内积空间时,是实数域;是闭区间上全体连续函数构成的线性空间; Hilbert空间即完备的内积空间; 为子空间的维数;另外表示等于与的直和,即,使. 本文还类似文献[3,7]在内积空间中引入了正交补概念:设,是内积空间的子空间,若,,就称是的正交补．在文献[5]中讨论了无限维欧式空间中子空间直交补(即为文献[5]中的正交子空间)与正交补等价的条件,并且发现直交补与正交补是否相同是由欧式空间的完备特性所决定的;本文在文献[4]和[5]的启发下,讨论了当是内积空间的子空间时, 的直交补与正交补的关系. 1 引理及证明 引理1 （Schwarz不等式）设按内积成为内积空间,则对， 成立不等式 当且仅当与线性相关时,不等式取“”． 引理2 设为内积空间,对,若,则 ． 证明 ,对,,使得,有 ,,使得,有．于是,, 当时, 有 （由引理1） , 又时,有 ,,当时,有界, 令,,则 , . 注1 引理2说明:若将看作一个二元函数,则此二元函数是连续的,即极限符号与内积符号可以交换位置:. 引理3 设为内积空间,是的子集,则是中的闭子空间. 证明 先证是中的子空间：对,,则,有,,. 再证是闭子空间：对收敛点列且,有: ,,,由引理2,有, ,是闭子空间. 引理4 设是内积空间的非空子集,则成立. 证明 对,,,,. 引理5 设,是内积空间中的非空子集且,则. 证明 对,,有,,