《因子分析》课件.pptVIP

因子分析 （factor analysis） 一、方法简介 因子分析的形成和早期发展一般认为是从Charles Spearman在1904年发表的文章开始．他提出的这种方法当时用来解决智力测验得分的统计分析。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科都有广泛而成功的应用． 因子分析是主成分分析的推广和发展，是多元统计分析中降维的一种方法。因子分析研究相关阵或协差阵的内部依赖关系，它将多个变量综合为少数几个因子，科学再现原始变量与因子之间的相关关系。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例或特定方法。 二、几个因子模型的案例 例1：100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。 为了了解学生的学习能力，观测了n个学生p个科目的成绩，用X1，…，Xp表示p个科目 X(t)＝(Xt1，…，Xtp) (t＝l，…,n)表示第t个学生p个科目的成绩，对这些资料进行归纳分析，可以看出各个科目(即变量)由两部分组成： Xi＝aiF十εi (i＝l，…，p) 其中F是所有Xi (i＝l，…，p)所共有的因子，它表示智能高低的因子；εi 是科目(变量) Xi特有的特殊因子。 这就是一个最简单的因子模型。 进一步把这个简单因子模型推广到多个因子的情况，即全体科目X所共有的因子有m个，如数学推导因子、记忆因子、计算因子…等．分别记为F1，…，Fm，即 Xi＝ai1F1十ai2F2十…十aimFm十εi (i＝l，…，p) 用这m个不可观测的相互独立的公共因子F1，…，Fm(也称为潜因子)和一个特殊因子εi 来描述原始可测的相关变量(科目) X1，…，Xp，并深层次解析学生的学习能力。 例3 为了评价高中学生将来进大学时的学习能力，抽了200名高中生进行问卷调查，共50个问题。所有这些问题可简单地归结为阅读理解、数学水平和艺术修养三个方面。这也是一个因子分析模型，每一方面就是一个因子。 例4 公司老板对48名申请工作的人进行面试，并给出申请人在15个方面所得的分数，这15个方面是：(1)申请信的形式；(2)外貌；(3)专业能力；(4)讨人喜欢的能力；(5)自信心；(6)洞察力；(7)诚实；(8)推销能力；(9)经验；(10)驾驶汽车本领；(11)抱负；(12)理解能力·；(13)潜力；(14)对工作要求强烈程度；(15)适应性。 这些问题可以归结为如下几个方面：申请者外露的能力，讨人喜欢的程度，申请者的经验，专业能力。每一方面都是因子模型中的一个因子。 三、因子分析与主成分分析的异同 因子分析与主成分分析是多元分析中两种重要的降维方法，但两者有很大的不同。主成分分析不能作为一个模型来描述，它只能作为一般的变量变换，主成分是可观测的原始变量的线性组合；而因子分析需要构造一个因子模型，公因子一般不能表示为原始变量的线性组合，是高度提炼得来的。 例如：某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷。其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等。我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中因素。因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、工业总产值、产量等。 假设100人测试的分数(Xi ，i＝l，…，100 )可以用上述六个因子表示成线性函数： Xi＝ai1F1十ai2F2十…十ai6F6十εi (i＝l，…，100 ) 其中F1，…，F6表示六个因子，它对所有Xi所共有的因子，通常称为公共因子，它们的系数ai1,，ai2，…，ai6称为因子载荷，它表示第i个应试人员在六个因子方面的能力。εi 是第i个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括的部分，称为特殊因子，通常假定εi ～N(0,σi)，仔细观察这个模型与回归模型在形式上有些相似，实质很不同。 这里F1，…，F6的值是未知的，并且有关参数的统计意义也不一样。因子分析的任务，首先是估计出{aij }和方差 (σi)，然后将这些抽象因子(F i)赋予有实际背景的解释或命名。利用综合出的少数因子，以再现原始变量和因子之间的相互关系，以达到降维和对原始变量进行分类的目的。 因子分析的内容十分丰富，本节仅介绍因子分析常用的两种类型：R型因子分析(对变量作因子分析)和Q型因子分析(对样品作因子分析)。 四、因子分析的基本思想 因子分析的基本思想是通过变量(或样品)的相关系数矩阵(对样品是相似系数