有限链环上常循环码.pdfVIP

2014年 8月 纯粹数学与应用数学 Aug．2014 第 30卷 第 4期 Pureand AppliedM athematics Vo1．30 No．4 有限链环上的常循环码 郑喜英 孔波 2 (1．黄河科技学院信息工程学院，河南 郑州 450063； 2．河南教育学院数学与统计学院，河南 郑州I 450046) 摘要 ：研究了有限链环 R 上常循环码 的等价性，根据等价性给 出了R 上一些常循环码 及其对偶码的结构．确定了该环上长度为P 的所有常循环码及其对偶码的结构． 关键词：常循环码：循环码；对偶码 中图分类号：O157．4 文献标识码：A 文章编号：1008—5513(2014)04—0377—09 DOI：10．3969／j．issn．1008—5513．2014．04．007 1 引言 近年，有限环上的常循环码成了很多学者研究的热点问题．文献 f1】研究了有限环 ( + u + 十u )上的 (1+ u)一常循环码的结构，并构造了参数较好的P元线性码．文献 [2] 研究了有限环 (Rk=F2u[l，U2，…，uk]／(“=0，uiuj=ujui})(对任意的整数 1)上的循环 码，定义了一个 Gray映射，证明了 上循环码的Gray像是指数为 2 的二元准循环码．文 献 3『]对有限域上的常循环码的等价性进行了研究，并对其常循环码的生成元进行了刻画．文 献 4『1研究了有限环 (Rk=E2U[l，U2，…，，“]／(札=O,UiUj=UjUi}) (对任意的整数尼 1) 上的线性码，并定义了两个等价的Gray映射．文献 5【]研究了有限环 (F2+uF2+…+~tk-1F2) 上的常循环自对偶码的生成多项式．文献 [6]研究了有限环 (F2+u +rE2+UVF2)上的常循 环码及其 Gray像的结构．文献 [7】研究了环 ( + m+… +uk-1 )上的一类常循环 码及其对偶码的结构．文献 [8】给出了有限链环上循环码和负循环码的生成元．文献 f9】研究了 环 ( +u )上常循环码的等价性，并根据等价性对该类环上的常循环码进行了分类．文 献 f101研究了有限链环上的重根循环码的生成多项式．文献 f1l1研究了环 ( +ug,)上常 循环码的结构．本文在文献 9『—11]的基础上研究了有限链环上的单根及重根常循环码及其对偶 码的结构对前面的结果进行了推广． 收稿 日期：201405—08． 基金项 目：河南省基础与前沿 (122300410229)；河南省教育斤科学技术研究重点项 目(14Bl10024) 郑州市科技局科技攻关项 目． 作者简介：郑喜英 (1981一)，硕士，讲师，研究方向：代数与编码． 378 纯粹数学与应用数学 第 30卷 2 基础知识 定义 2．1 设 R为一个含单位元 1的有限交换环，若 1≠0，并且环 R 中的全部理想能按 照包含关系构成一条链，则称环 R为有限链环． 设 R是一个有限链环，R的极大理想为 =()= R，其中-y是幂零指数为 e的幂零元， R 的所有理想满足链 R=．yo_R] R]… ] 。R． 令F：R／I： ／()，则F是特征为素数P的域，已知存在整数 m使得 IFl=Pm．令 ∈ 是F的一个本原元，那么F={0，1，∈，·一， 一 }． 由文献 8『1可知 R 中的每一个元素 r都可以唯一的表示为： r： + c】 + 2+ ．．．十 Ce -- r=CO+c1+c2y+ ‘·’十 1-y。。一，，ccii∈∈ pmm R／／I(,,--ff)7，，i=二==0，，1，，2，，一一 ‘‘，，ee—一l1，， 环 R上所有的单位元为 ∈+c1一y+e2 +．．．4-Ce--IY