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浅谈圆锥曲线中的张角问题 沈春祥 圆锥曲线中的张角问题（特别是与焦半径相关的问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下面从几个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。 一、曲线定义法 我们可以利用椭圆的定义（）或双曲线的定义解求得所需结果。 例1. 椭圆上一点P与两个焦点的张角∠，求证：△F1PF2的面积为。 图1 证明： ①式平方与②式作差得： 所以 二、特征图象法 利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题，有时学生感到比较直观、好用。 1. 如图2，椭圆中，特征△OF2B2，其三边长分别为a、b、c，（e(0，1)）。 图2 2. 如图3，双曲线中，特征，其三边长分别为a、b、c，（e）。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。 图3 例2. 已知双曲线的离心率是2，求它的两条渐近线的夹角。 解：， 所以 所以夹角为。 三、正弦定理法 如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。 例3. 已知椭圆上一点P及两焦点，若，，试求椭圆的离心率。 图4 解：由正弦定理有， 即 所以 四、余弦定理法 如果在中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。 例4. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠，且△的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。 图5 解：设双曲线的方程为，，。在△PF1F2中，由余弦定理，得 ， 即 又因为 所以 所以 所以 即 又因为 所以 所以所求双曲线方程为。 五、到角公式法 有时角不是特殊角，用余弦定理比较复杂，可以考虑利用直线的角的公式来解。 例5. 若椭圆上有一点Q，到长轴两端点A、B所成的张角∠AQB＝120°，试求离心率e的取值范围。 图6 解：因为椭圆是关于x轴对称的图形，所以不妨设点Q在x轴上方， 即 则， 所以 所以 因为 所以。 六、曲线交轨法 通过几何图形，找出适合题意的途径解决问题。 例6. 椭圆的焦点为，点P为其上一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。 解：以为直径的圆上的点为Q时，，于是P在以为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以为直径的圆的方程为。 由 解得 即点Q横坐标为。 所以点P横坐标取值范围是。 七、平面向量法 利用以下结论，在中 图7 1. ∠F1PF2为锐角； 2. ∠F1PF2为直角； 3. ∠F1PF2为钝角。 有关角的问题可以用向量形式表示，再来求解。 例7. 已知曲线C的方程为，A（－1，0），B（1，0），过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若∠MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。 解：（1）若l⊥x轴，则l的方程为 ， （不合题意）。 （2）若l与x轴重合，则∠MAN＝π（不合题意）。 （3）若l与x轴、y轴不垂直，设，代入曲线C的方程得 所以 因为∠MAN为钝角，所以 所以， 所以。 所以倾斜角的范围是： 快乐学习，尽在中小学教育网