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2018年深圳乐而思中心高考数学专题提升练习卷:圆锥曲线与圆相结合综合题练习卷
以解析几何中与圆相关的综合问题练习卷1.已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等,且与的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为,与直线(为坐标原点)垂直的直线l与交于两点,且l与圆相切.(1)求的方程;(2)若,求圆的方程.【解析】(1)由题意可得,∴,故的方程为.(2)联立,得,∴,又在第一象限,∴.故可设l的方程为.联立,得,设,,则,,∴,解得,满足,又到直线l的距离为,则,故圆的方程为.2.过椭圆的右焦点作x轴的垂线,与椭圆C在第一象限内交于点A,过A作直线的垂线,垂足为B,.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为圆上任意一点,过点P作椭圆C的两条切线,设分别交圆E于点,证明:为圆E的直径.【解析】(1);(2)略3.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线x-y-4=0相切.(1)求圆O的方程;(2)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB 为菱形,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.【解】(1)x2+y2=4;(2)4.已知抛物线的焦点为,过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点,且线段被直线平分.(1)求的值;(2)直线l是抛物线的切线,为切点,且,求以为圆心且与相切的圆的标准方程.【解析】由题意可知,设,,则.(1)由,得,∴,即.(2)设直线l的方程为,代入,得,∵l为抛物线的切线,∴,解得,∴.∵到直接的距离,∴所求圆的标准方程为.5.设圆的圆心为,直线l过点且与轴不重合,l交圆于两点,过作的平行线交于点.(1)证明:为定值,并写出点的轨迹方程;(2)设点的轨迹为曲线,直线l交于两点,为坐标原点,求面积的取值范围.【解析】(1)证明:因为,故,所以,故,又圆的标准方程为,从而由椭圆定义可得点的轨迹方程为.(2)当直线l与轴不垂直时,设l的方程为,由得,则,所以到直线距离为,则,[来源:学.科.网Z.X.X.K]则令,则则,易知,∴当l与轴垂直时,,综上.6.已知是圆:上的动点,在轴上的射影为,点是线段的中点,当在圆上运动时,点形成的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)经过点的直线l与曲线相交于点,,并且,求直线l的方程.【解析】(1)设,则在圆上,所以,即(2)(ⅰ)当直线l斜率不存在时,经检验,不满足题意;(ⅱ)设直线l斜率为,则其方程为,则令,得设,①②又由,得,将它代入①,②,得,(满足)所以直线l的斜率为,所以直线l的方程为.7.已知圆,是轴上的动点,,分别切圆于,两点.(1)当的坐标为时,求切线,的方程.()求四边形面积的最小值.()若,求直线的方程.【解析】(1)当过的直线无斜率时,直线方程为,显然与圆相切,符合题意;当过的直线有斜率时,设切线方程为,即,∴圆心到切线的距离,解得,综上,切线,的方程分别为,.(),,.∴当轴时,取得最小值,∴四边形面积的最小值为.(3)略8.已知抛物线,圆,点N为抛物线E上的动点,O为坐标原点,线段的中点P的轨迹为曲线C.(1)求抛物线C的方程;(2)点是曲线C上的点,过点Q作圆M的两条切线,分别与x轴交于两点.求面积的最小值.【解】(Ⅰ)设,则点在抛物线上,所以,即,所以曲线C的方程为:.(Ⅱ)设切线方程为:,令y=0,解得,所以切线与x轴的交点为,圆心(2,0)到切线的距离为,∴,整理得:,设两条切线的斜率分别为,则,∴记,则,∵,∴在上单增,∴,∴,∴面积的最小值为.9.在平面直角坐标系中,圆交轴于点,交轴于点.以为顶点,分别为左、右焦点的椭圆,恰好经过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设经过点的直线l与椭圆交于两点,求面积的最大值.【解】(1)(2)由于点在椭圆外,所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为,则直线,设.由消去得,.由得,从而,∴.∵点到直线l的距离,∴的面积为.令,则,∴,当即时,有最大值,,此时.所以,当直线l的斜率为时,可使的面积最大,其最大值.10.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点.(1)求椭圆的方程;[来源:学§科§网](2)过原点的射线l与椭圆在第一象限的交点为,与圆的交点为,为的中点,求的最大值.【解析】(1)在中,令得,即,令,得,即, 2分由,∴椭圆:. 4分(2)法一:依题意射线l的斜率存在,设,设 -5分得:,∴. 6分得:,∴, 7分∴. 9分.设,,令,得.又,∴在单调递增,在单调递减. 11分∴当时,,即的最大值为. 13分11.已知圆,点,以线段为直径的圆内切于圆,记点的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)若为曲线上的两点,记,,且,试问的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.【解析】(1)取,连结,设
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