2018年秋九年级数学上册北师大版（贵州）教学课件4.5 相似三角形判定定理的证明(共18张PPT).ppt

* *4.5 相似三角形判定定理的证明 第四章 图形的相似 学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 导入新课 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似. 讲授新课 证明相似三角形的判定定理 一 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △ABC 中，∠A = ∠A， ∠B =∠B. 求证：△ABC ∽△ABC． A′ B′ C′ A B C ∠1=∠B，∠2 =∠C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 ∴ ∴ ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行 四边形． ∴ DE = CF. ∴ ∴ A′ B′ C′ A B C 证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =AB，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 E D F 1 2 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A，∠ ADE = ∠ B =∠ B，AD = AB， ∴ △ADE ≌△A B C ． ∴ △ABC ∽△ABC. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B A C ∴ 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B A C ∵ A′D=AB， ∴ 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△ABC 中， 求证：△ABC ∽ △ABC . A′ B′ C′ A C E D B ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 相似三角形判定定理的运用 二 例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. C D A B 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4. 例2 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； ∴ C A B D 2 (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． C A B D 2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=