2018年秋人教版九年级数学下册（贵州）专题课件3.比例式、等积式的常见证明方法(共12张PPT).ppt

比例式、等积式的常见证明方法 比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手. 等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多等积式的证明也是有规律可循的。 类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，∠A＝∠C ∴∠CDF＝∠E ∴△DCF∽△EAD 证明： ∵∠BAC＝90°， M为BC的中点 ∴MA＝MB ∴∠B＝∠1 ∵∠BAC＝90°，DM⊥BC ∴∠D＝∠B＝90°－∠C ∴∠1＝∠D 又∵∠2＝∠2 ∴△EAM∽△ADM ∴AM∶MD＝ME∶AM ∴AM2＝MD·ME 方法总结 证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中，再证明所属的两个三角形相似。 类型二：利用等线段代换 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF. 证明：连接PC ∵AB＝AC，AD是中线 ∴AD垂直平分BC ∴BP＝CP ∴∠1＝∠2 ∵AB＝AC ∴∠1+∠3＝∠2＋∠4 ∴∠3＝∠4 ∵CF∥AB ∴∠3＝∠F ∴∠4＝∠F 而∠CPE是△CPE和△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF 方法总结 运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换，再按类型一 的方法证明. 类型三：找中间比利用等积式代换 如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF. 如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF. 证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD ∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA ∴AB·AF＝AC·DF.