2018年高考考前冲刺最后15天之大题增分系列江苏专版：压轴题命题区间(五) 数__列.docx

压轴题命题区间(五)数__列利用函数思想解决数列问题[典例]　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an(r∈R，n∈N*)．(1)求r的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若当n∈N*时，λT2n－Tn恒成立，求实数λ的取值范围．[解]　(1)当n＝1时，S1＝a1，所以r＝，所以Sn＝an.当n≥2时，Sn－1＝an－1.两式相减，得an＝an－an－1，所以＝(n≥2)．所以··…·＝×××…××，即＝.所以an＝n(n＋1)(n≥2)，又a1＝2适合上式．所以an＝n(n＋1)．(2)因为an＝n(n＋1)，所以bn＝，Tn＝＋＋…＋.所以T2n＝＋＋…＋，所以T2n－Tn＝＋＋…＋.令Bn＝T2n－Tn＝＋＋…＋.则Bn＋1＝＋＋…＋.所以Bn＋1－Bn＝＋－＝0.所以Bn＋1Bn，所以Bn单调递增，故(Bn)min＝B1＝，所以λ.所以实数λ的取值范围为.[方法点拨](1)解决数列的单调性问题的下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．[对点演练]1．(2018·南京模考)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝nan－2n(n－1)，且a1＝2，若λSn＋1＞an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．解：当n≥2时，由Sn＝nan－2n(n－1)＝n(Sn－Sn－1)－2n(n－1)，得(n－1)Sn－nSn－1＝2n(n－1)，即－＝2.所以数列是以2为公差的等差数列．又因为S1＝a1＝2，所以＝2n，即Sn＝2n2，从而an＝4n－2，因为λSn＋1＞an对n∈N*均成立?λ＞恒成立，设f(n)＝＝－＋＝－32＋≤，当且仅当n＝2时取等号．所以实数λ的取值范围为.2．(2018·启东中学高三调研)设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a－n－1，n∈N*，且S2＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Ti＝，求证：Ti＜n＋1.(3)记集合P＝，若集合P有且只有四个元素，求实数λ的取值范围．解：(1)因为2Sn＝a－n－1，所以2Sn＋1＝a－n－2，两式相减得2an＋1＝a－a－1，所以(an＋1＋1)2＝a.因为数列{an}是正项数列，所以an＋2＝an＋1＋1，即数列{an}从第二项起为公差是1的等差数列，将n＝1代入2Sn＝a－n－1，得2a1＝a－2，即2a1＝(3－a1)2－2，解得a1＝1或a1＝7(舍去)．因为S2＝3，所以a2＝2，即an＝n.(2)证明：因为Ti＝＝＝＝1＋＝1＋－，所以Ti＝＋＋＋…＋＝n＋1－，所以Ti＜n＋1.(3)由(1)知Sn＝，设g(n)＝＝，则当n＝1,2,3时，g(1)＝1，g(2)＝，g(3)＝－；当n≥5时，g(n＋1)－g(n)＝－＝＜0，所以函数g(n)＝在n≥5，且n∈N*时单调递减．因为g(5)＝1，g(6)＝，g(7)＝，g(8)＝，因此要使集合P中的元素有且只有四个，则P＝{1,5,6,7}, 故λ≤，所以实数λ的取值范围为.数列中的存在性问题[典例]　(2018·扬州模考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝a，且an＋1＝k(an＋an＋2)对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn.(1)若k＝，且S2 018＝2 018a，求a的值．(2)是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．[解]　 (1)当k＝时，an＋1＝(an＋an＋2)，an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列，此时首项a1＝1，公差d＝a2－a1＝a－1，数列{an}的前2 018项和是S2 018＝2 018＋×2 018(2 018－1)(a－1)＝2 018a，解得a＝1.(2)设数列{an}是等比数列，则它的公比q＝＝a，所以am＝am－1，am＋1＝am，am＋2＝am＋1.①若am＋1为等差中项，则2am＋1＝am＋am＋2，即2am＝am－1＋am＋1，解得a＝1，不合题意；②若am为等差中项，则2am＝am＋1＋am＋2，即2am－1＝am＋am＋1，化简得a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去a＝1)，所以k＝＝＝＝－；③若am＋2为等差中项，则2am＋2＝am＋1＋am，即2am＋1＝am＋am－1，化简得2a2－a－1＝0，解得a＝－(舍去a＝1)，所以k＝＝＝＝－.综上，满足要求的实数k有且仅有一个，且k＝－.[方法