2018年高考考前冲刺最后15天之大题增分系列江苏专版：压轴题命题区间(六) 圆锥曲线问题.docx

压轴题命题区间(六)圆锥曲线问题第一课时　简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例]　如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，求椭圆离心率e的取值范围．[解]　(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，连接F1Q，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝，故|PF2|＝2a－|PF1|＝.由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而2＋2＝4c2，两边除以4a2，得＋＝e2.若记t＝1＋λ＋，则上式变成e2＝＝82＋.由≤λ＜，并注意到t＝1＋λ＋关于λ单调递增，得3≤t＜4，即＜≤.进而＜e2≤，即＜e≤.所以椭圆离心率e的取值范围为.[方法点拨]本题可借用椭圆的定义，通过余弦定理建立不等关系，从而求出离心率的范围，大大降低了运算量．[对点演练]1．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知PF＝xP＋m，又PA2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，所以≥，所以的最小值为.答案：2．(2018·无锡期末)设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1＝e2，则e1＝________.解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设P在第一象限，则由定义知所以PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2，因为PF1⊥PF2，所以PF＋PF＝F1F，即(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，整理得＋＝2，又因为3e1＝e2，所以e1＝.答案：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例]　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为________．[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.[答案]　＋＝1[方法点拨]本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]1．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＋＝0，所以＝－·.因为＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以－＝－，所以a2＝2b2.又因为b2＝a2－c2，所以a2＝2(a2－c2)，所以a2＝2c2，所以＝.即椭圆C的离心率e＝.答案：2．椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减得ax－ax＝－(by－by)，即＝－1，∴×(－1)×＝－1，∴＝.答案：善用关系，化繁