2018年高考考前冲刺最后15天之大题增分系列江苏专版：压轴题命题区间(四) 三角函数与平面向量.docx

压轴题命题区间(四)三角函数与平面向量三角函数的图象与性质[典例]　已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x，x∈.(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f(x)－m＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x＝－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2sin，因为x∈，所以≤2x－≤，故2≤1＋2sin≤3，所以f(x)max＝f＝3，f(x)min＝f＝2.(2)因为－2＜f(x)－m＜2?f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，所以m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2.又x∈时，f(x)max＝3，f(x)min＝2，所以1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．[方法点拨]本题求解的关键在于将三角函数f(x)进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值．[对点演练]设函数f(x)＝4sin＋.(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(2)把y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调减区间．解：(1)因为x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，函数f(x)有最小值，最小值为f(0)＝－，当2x－＝，即x＝时，函数f(x)有最大值，最大值为f＝4sin ＋＝4＋.故f(x)在区间上的最大值为4＋，最小值为－.(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝4sin ＋的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝4sin＋的图象，所以g(x)＝4sin＋.由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以g(x)的单调减区间是，k∈Z.平面向量[典例]　若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．[解析]　法一：(目标不等式法)因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1，故|a＋b－c|的最大值为1.法二：(基向量法)取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝ma＋nb.由|c|＝1，即|ma＋nb|＝1，可得(ma)2＋(nb)2＋2mna·b＝1，由题意，知|a|＝|b|＝1，a·b＝0.整理，得m2＋n2＝1.而a－c＝(1－m)a－nb，b－c＝－ma＋(1－n)b，故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－nb]·[－ma＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0，又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，故|a＋b－c|2＝[(1－m)a＋(1－n)b]2＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2＝3－2(m＋n)．又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.故|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.故|a＋b－c|的最大值为1.法三：(坐标法)因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以a，b＝.设＝a，＝b，＝c，因为a⊥b，所以OA⊥OB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．设C(x，y)，则c＝(x，y)，且x2＋y2＝1.则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－x)×(－x)＋(－y)×(1－y)≤0，整理，得1－x－y≤0，即x＋y≥1.而a＋b－c＝(1－x,1－y)，则|a＋b－c|＝＝.因为x＋y≥1，所以3－2(x＋y)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.法四：(三角函数法)因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以a，b＝.设＝a，＝b，＝c，因为a⊥b，所以OA⊥OB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，A(1,0)，B(0,1)．因为|c|＝1，设∠COA＝θ，所以C点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a－c＝(1－c