2018年高考考前冲刺最后15天之大题增分系列江苏专版：压轴题命题区间(三) 应用题.docx

压轴题命题区间(三)应用题函数模型的构建及求解[典例]　某工厂现有200人，人均年收入为4万元．为了提高工人的收入，工厂将进行技术改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人继续留用，他们的人均年收入为4a(a∈N*)万元，剩下的人从事其它服务行业，这些人的人均年收入有望提高(2x)%.(1)设技术改造后这200人的人均年收入为y万元，求出y与x之间的函数关系式；(2)当x为多少时，能使这200人的人均年收入达到最大，并求出最大值．[解]　(1)由题意知y＝＝＝－[x－25(a＋3)]2＋(a＋3)2＋4，其中100≤x≤150，x∈N*.(2)①当100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*时，则x＝25(a＋3)时，y取得最大值，且ymax＝(a＋3)2＋4；②当25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*时，函数y在[100,150]上单调递增，则x＝150时，y取得最大值，且ymax＝3a＋4.答：当1≤a≤3，a∈N*时，即x＝25(a＋3)时，y取得最大值(a＋3)2＋4；当a＞3，a∈N*时，即x＝150时，y取得最大值3a＋4.[方法点拨]解函数应用题的步骤[对点演练]某电影院共有1 000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5 750元，票房的收入必须高于成本支出，用x(元)表示每张票价，用y(元)表示该影院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入)，问：(1)把y表示为x的函数，并求其定义域；(2)试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收入最多？解：(1)因为影院放映一场电影的成本费用为5 750元，票房收入必须高于成本费用，所以票房收入大于5 750元，因为该影院共有1 000个座位，所以一张电影票的价格大于5.75元，又因为票价为1元的整数倍，所以该电影院一张电影票的最低价格为6元．当x＞10时，y＝[1 000－30(x－10)]x－5 750＝－30x2＋1 300x－5 750，要满足题意，则解得5＜x＜38，又因为x为大于10的整数，所以10＜x≤38.所以y＝(2)当票价不超过10元时，y＝1 000x－5 750，y随x的增大而增大，所以当x＝10时，y的值最大，此时y＝1 000×10－5 750＝4 250(元)；当票价高于10元时， y＝－30x2＋1 300x－5 750，所以当x＝＝21≈22时，y的值最大，此时y＝－30×222＋1 300×22－5 750＝8 330(元)．综上可知，当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8 330元.高次函数或复杂的分式结构函数模型[典例]　几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7 600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．[解]　(1)当x＝60时，t(60)＝1 600，把x＝60，y＝1 600代入t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050，解得a＝2.所以M(x)＝即M(x)＝(2)当34≤x≤60，x∈N*时，M(x)＝－2x3＋48x2＋10 680x－360 000，则M′(x)＝－6x2＋96x＋10 680，令M′(x)＝0，解得x＝8－2(舍去)，x＝8＋2∈(50,51)．当34≤x50时，M′(x)0，M(x)单调递增；当51＜x＜60时，M′(x)0，M(x)单调递减．因为x∈N*，所以当x＝50或x＝51时取得最大值，又M(50)＝44 000，M(51)＝44 226，所以M(x)的最大值为44 226.当60≤x≤70时，M(x)＝－100x2＋11 000x－278 400单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21 600.综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44 226元．答：该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件．[方法点拨]高次函数或复杂的分式结构函数模型的最值一般利用导数法或基本不等式解决，但一