2018数学专题 二 压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【原卷版】.docVIP

专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题 【名师综述】 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型. 类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 【2017河北衡水中学四调】在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ） A．36 B． C. D． 【名师指点】在运动变化过程中，当变量达到某一个特殊位置时，要所求的变量的最值达到.这就要求看准变化中的临界点，从而确定最值.欲使三棱锥体积的最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹，进而判断高的最大值，空间问题平面化是解题关键． 【举一反三】如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为 ． 类型二 几何体的外接球或者内切球问题 典例2 【2018河北衡水武邑中学三调】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____． 点睛：这个题目考查了四面体的外接球和内切球的体积问题，外接球是放到长方体中计算，用的是补体法；内切球用的是体积分割，将四面体分割成了4个小的棱锥，高都是内切球的半径，从而计算出内切球的半径。 【举一反三】[吉林省实验中学2018届高三上学期第六次月考在四面体中， 底面， ， ， 为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则__________． 类型三 立体几何与函数的结合 典例3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ） 【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧. 【举一反三】[广西南宁市第二中学2018届高三1月月考（期末）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为， 为圆上的点， 、、、分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起、、、，使得重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为__________ 时，三棱锥体积最大． 【精选名校模拟】 1．【2018广西南宁摸底联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）. ①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面. 2.在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面内一点，定义，其中分别是三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积，若，且，则正实数的最小值为________. 3、【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________ .（不计损耗） 4、长方体中， ， ， ， 分别是的中点， 是上的点， ，若平面与平面的交线为，则与所成角的余弦值为__________． 5．【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为__________． 6．【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】在四面体中， ，二面角的大小为,则四面体外接球的半径为__________． 7．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点．给出下列四个命题： ①若平面，且是边中点，则有； ②若，平面，则面积的最小值为； ③若，平面，则三棱锥的外接球体积为； ④若，在平面上