2018数学专题 二 压轴填空题第一关 以零点个数为背景的填空题【解析版】.doc

专题二 压轴填空题 第一关 以零点个数为背景的填空题 【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用. 【典例解剖】 类型一 周期函数零点个数问题 典例1设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 【答案】 【解析】因为对于任意的，都有，所以函数的图象关于直线对称，又因为当时，，且函数是定义在上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有个不同的实数解，则函数与在区间上有三个不同的交点，如下图所示：又，则有，且，解得 【名师指点】将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数图像在给定区间的交点个数问题,利用周期性和偶函数正确作图以及判断端点函数值的大小是解题关键．求解零点问题时，往往转化为的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图像的交点问题求解． 【举一反三】已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是 【答案】B. 【解析】∵直线过定点，画出函数在区间的图象，要使方程有个根，即直线和函数在区间的图象有个交点，显然当时满足条件，假若当直线和函数的图象在区间上相切时也满足条件，但是这是不可能的，联立，得，令得或 (舍去)，当时，解得，∴. 类型二 复合函数的零点个数问题 典例2 【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】∵ ∴ ∴ ∴当或时，，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 可作出大致函数图象如图所示： 令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解 ∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解 ∴，解得，故答案为 【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值． 【举一反三】【湖南省常德市2018届高三上学期检测考试】设函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得方程 有两个不等正根 所以 类型三 分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题 典例3 【江苏省镇江市2018届高三上学期期末统考】已知为常数，函数，若关于的方程有且只有4个不同解，则实数的取值集合为__________． 【答案】 【解析】画出函数的图象如图所示： ∵过点 ∴当时，显然不满足题意，故 ∵在上与函数有一个交点 ∴在上与函数有三个交点，且由图所示在上与函数有一个交点 设直线与的图象在相切的切点坐标为，则， ∵ ∴ ∴， ， ∴实数的取值范围是 【名师指点】分段函数与含绝对值函数典型特征为各段解析式不一致，不仅要考虑对应性，而且需考虑自变量在结合点情况及值域包含关系． 【举一反三】定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【解析】由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为，满足，因此所有零点之和为 【精选名校模拟】 1. 【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】令 当时有两个零点，需 当时有三个零点， ， 所以函数有5个零点，舍； 当时，由于 所以 ，且 ，所以 综上实数的取值范围是 2. 【天津河西2017-2018学年高三上期中】已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】若函数有两个零点， 即与交于两点， 因为与在定义域内均为单调递增函数， 当时，当时，所以， 则的取值范围是． 3.设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m= 【答案】2 【解析】∵题中原方程有个不同的实数根，∴即要求对应于等于某个常数有个不同实数解和个不同的实数解，∴故先根据题意作出的简图： 由图可知，只有当时，它有三个根，故关于的方程有一个实数根，∴，∴或，时，方程 或,有5个不同的实数根，∴． 4．已知函数是定义域为的偶函数，当时， （符号表示不超过的最大整数），若方程有6个不同的实数解，则的