2018数学专题 二 压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【解析版】.doc

专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题 【名师综述】 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型. 类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 【2017河北衡水中学四调】在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ） A．36 B． C. D． 【答案】A 【解析】因为平面，由，同理平面，则，所以，下面研究点在面内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得，该圆与的交点的纵坐标最大，交点坐标，三棱锥的底面的面积为，要使三棱锥的体积最大，只需高最大，当在上时，棱锥的高最大，，故选A. 【名师指点】在运动变化过程中，当变量达到某一个特殊位置时，要所求的变量的最值达到.这就要求看准变化中的临界点，从而确定最值.欲使三棱锥体积的最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹，进而判断高的最大值，空间问题平面化是解题关键． 【举一反三】如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱锥体积的最大值为. 类型二 几何体的外接球或者内切球问题 典例2 【2018河北衡水武邑中学三调】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____． 【答案】 【解析】由题意，MC为球O的直径，MC=2，∴球O的半径为， ∴球O的表面积为4π?3=12π，内切球的半径设为ｒ， 得到 内切球的体积为 ，故结果为. 点睛：这个题目考查了四面体的外接球和内切球的体积问题，外接球是放到长方体中计算，用的是补体法；内切球用的是体积分割，将四面体分割成了4个小的棱锥，高都是内切球的半径，从而计算出内切球的半径。 【举一反三】[吉林省实验中学2018届高三上学期第六次月考在四面体中， 底面， ， ， 为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则__________． 【答案】2 【解析】∵，∴. 设△ABC的外心为O，则O在AE上，设OA=r，则 即，解得，∴四面体的外接球的半径R， ∴，解得，∴ 故答案为：2 类型三 立体几何与函数的结合 典例3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ） 【答案】B 【解析】 试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B正确. 【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧. 【举一反三】[广西南宁市第二中学2018届高三1月月考（期末）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为， 为圆上的点， 、、、分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起、、、，使得重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为__________ 时，三棱锥体积最大． 【答案】 【解析】连接交于点，则，点为的中点，连接， 为直角三角形，设正方形的边长为，则，由圆的半径 为4，则，设重合于点P，则 则，高、， 设，当时， ，