课程论文弹性力学有限元位移法原理.doc

一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 主要针对一维（直杆）问题，撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的数学、力学基础和基本思想；2）有限元法求解的原理和过程，推导所有计算列式；对基本概念和符号进行解释和讨论；3）收敛性、收敛准则及其数学、力学意义的讨论。 弹性力学有限元位移法原理 有限单元法的起源 有限单元法的形成可以追溯到20世纪50年代甚至更早些时间，基本思路来源于固体力学中矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对不同结构的杆系、不同的载荷，用矩阵位移法求解都可以得到统一的公式。在1952-1953年期间， R·W·Clough和M·J·Turner在分析飞机三角翼振动问题时，提出了把平面应力三角形或矩形板组合起来表达机翼刚度的方法，当时被称为直接刚度法。1956年M·J·Turn er，R·W·Clough，H·C·Martin，L·J·Topp在纽约举行的航空学会年会上发表论文《Stiffness and deflection analysis of complex structures》(复杂结构的刚度和变形分析)介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位移法推广推广到求解弹性力学平面应力问题。它们把平面板壳结构划分为一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与结点位移关系的单元刚度矩阵。1960年，R·W·Clough在论文《The finite element in plane stress analysis》(平面应力分析的有限元法)中首次提出了有限单元（Finite Element）这一术语，他也因此被称为“有限单元之父” 有限元法的基本思想 有限元法是一种结构分析的方法，正如O·C·Zienkiewicz所说的：“人类思维的限制在于不能通过一步运算就掌握复杂环境和事物的行为。因此，先把所有系统分解为它们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统来研究系统的行为”。可以看出有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组合体来加以分析。 有限单元法的数学基础 当有限单元法成功的应用于求解弹性力学平面问题之后，下一步要解决的问题就是能否把这种方法应用于求解其他连续介质问题。在寻找连续介质问题近似算法的时候，数学家们发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 有限元分析的基本步骤 ⑴ 建立研究对象的近似模型 ⑵ 将研究对象分割成有限数量的单元 ⑶ 用标准方法对每一个单元提出一个近似解 ⑷ 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 ⑸ 用数值方法求解这个近似系统 ⑹ 计算结果处理与结构验证 五、 一维杆的有限位移法分析 本文以一维直杆的分析为例子，研究有限元位移法基本原理和求解过程。 ⑴ 虚位移原理推到一维直杆单元的刚度方程 如下图所示一维直杆，已知直杆杆长为L，横截面积为A，材料弹性模量为E，所受轴向分布载荷集度为q(x)。杆端位移分别记为ui，uj，杆端力分别记为Si，Sj。 设局部坐标系下杆中A点的坐标为xa，因为只有两个边界条件ui，uj，因此杆轴任意一点（例如A点）的位移可假设为 ⑴ 式中 a，b为待定常数。 它们可由杆端位移条件来确定： ⑵ 将式⑵代入式⑴可得： ⑶ 若引入无量纲变量： 则式（3）可改写成： ⑷ 式中 称为形函数，矩阵N称作形函数矩阵；矩阵ue称为杆端位移矩阵或节点位移矩阵。 由式（4）可以看出，形函数具有如下性质： 本端为1，它端为零 任意一点总和为1 现采用虚位移原理给出该杆单元的特性公式，设杆端i，j分别产生虚位移，由此引起的单元内任意一点的虚位移为： 又 式中 B为应变矩阵。 由此可得 又 根据虚位移原理：对任意虚位移，外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功， 即 所以有 由 可得： 即 若记 称为该杆单元等效节点载荷；局部坐标单元刚度矩阵。 所以可得单元刚度方程： 式中单元刚度矩阵的显式为： 可见单元刚度矩阵具有对称性。 即单元刚度矩阵的每一个元素可写成 ⑵ 将一维直杆离散为三个单元进行分析 现考虑下图所示一维直杆：长度为L，分为三个单元，每个单元长度为h1，h2，h3； 对于单元①，节点位移分别为u1，u2，对应形函数为N1，N2； 由 得： 又对于单元②、③，形函数N1=0；对单元③，形函数N2=0；对单元①，形函