量子力学第四章氢原子.ppt

角动量的再讨论 代数法求解 （1）原子中的电流密度 原子处 于定态 电子在原子内部运动形 成了电流，其电流密度 代入 球坐标 中梯度 表示式 则 1. 由于 ψnlm 的径向波函数 Rnl(r) 和与 ? 有关的函数部分 Plm(cos?) 都是实函数，所以代入上式后必然有： 2. 绕 z 轴的环电流密度 j? 是上式电流密度的 ? 向分量： 最后得： （四）原子中的电流和磁矩 （2）轨道磁矩 则总磁矩 （沿 z 轴方向）是： j? 是绕 z 轴的环电流密度，所 以通过截面 d? 的电流元为： 对磁矩的贡献是： 圆面积 S= ? (rsin?)2 波函数 已归一 ? r sin ? d? j? x z y o r z ? d? r dr d? Bohr磁子: 角动量各分量之间是不对易的，所以它们没有共同的本征函数，它们不能同时有确定值。但是角动量平方算符与每个分量都是对易的，它和任一分量有共同的本征函数。一般用 与 的共同本征函数。在球坐标系中 与 的共同本征函数 定义升降阶算符 证： 例题：证明 证： 由 而另一方面 所以（不计一任意相因子） （一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率 4.4 电子的自旋 （1）实验描述 Z 处于 S 态的氢原子 （2）结论 I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的 S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。 N S （一）Stern-Gerlach 实验 （3）讨论 磁矩与磁场之夹角 原子 Z 向受力： 分析 若原子磁矩可任意取向,则 cos ? 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带。 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos ? = -1 和 +1 ，处于 S 态的氢原子 ?=0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。 3p 3s 5893? 3p3/2 3p1/2 3s1/2 D1 D2 5896? 5890? 钠原子光谱中的一条亮黄线 ? ? 5893?，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。 其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释 （二）光谱线精细结构 Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了电子自旋假设： （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值： （2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为： 自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值： Bohr 磁子 （三）电子自旋假设 （1）电子回转磁比率 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是： （2）轨道回转磁比率 则，轨道回转磁比率为： 电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍 （四）回转磁比率 电子的自旋算符和自旋波函数 （一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值 自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数： 自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为 自旋角动量 轨道角动量 异同点 与坐标、动量无关 不适用 同是角动量， 满足同样的角动量对易关系 （一）自旋算符 由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以 的本征值都是±?/2，其平方均为[?/2]2 算符的本征值是 仿照 自旋量子数 s 只有一个数值 因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为： 由于 SZ 只取 ±?/2 两个值， 所以上式可写为两个分量： 写成列矩阵： 规定列矩阵 第一行对应于Sz = ?/2， 第二行对应于Sz = -?/2。 若已知电子处于Sz = ?/2或Sz = -?/2的自旋态，则波函数可分别写为： （二）含自旋的状态波函数 （1） SZ 的矩阵形式 电子自旋算符（如SZ）是作用在电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该