欧氏完备的α相对极值超曲面.doc

欧氏完备的α相对极值超曲面 2009年9月 第46卷第5期 四川大学(自然科学版) JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition) Sep.2009 Vo1.46NO.5 doi:103969/j.issn.0490—6756.2009.05.01 欧氏完备的 许瑞伟 (1.河南师范大学数学与信息科学学院 相对极值超曲面 李安民,李兴校 ,新乡453007;2.1~lJJl大学数学学院,成都610064) 摘要:设X:M一是凸域nc上的严格凸函数z+1一f(x,X)定义的一个局部强 凸超曲面.如果f是下面方程的解,则称M为a相对极值超曲面:△ID一—2--h— a ,JD: 一j一 一 (deta8zafz)).2007年,贾和李证明了存在一个仅依赖于维数的正常数K(),如果 J口I≥K(),那么欧氏完备的a相对极值超曲面是椭圆抛物面.本文中我们利用Calabi度量 给出了这个定理的一个简单证明. 关键词:Bernstein性质;欧氏完备;Monge—Ampere方程 中图分类号:O186.1文献标识码:A文章编号:0490—6756(2009)05—1217—07 Euclideancompleterelativeextremalhypersurfaces XURui—Wei.LJAn-Min,L1Xing—Xiao (1.DepartmentofMathematics,HenanNormalUniversity,Xinxiang453007,China; 2.SchoolofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610064,China) Abstract:Letz:A+R+bealocallystronglyconvex vexfunctionz+1一f(x1.…,X)definedonaconvex hypersurface,givenbythegraphofastrictlycon— domainOCR.Miscalledan口relativeextremal hypersurfacs…lut.fAp--一detr . ))一where△andII.1l denotetheLaplacianandtensornormwithrespecttotheCalabimetric,respectively.In2007,JiaandLi provedthatEuclideancomplete口relativeextremalhypersurfacemustbeanellipticparaboloidforI口I≥ K(),whereK()isapositiveconstantdependingonlyonthedimension.HerewewillusetheCala— bimetrictogivearelativelysimpleproof. Keywords:Bernsteinproperty,Euclideancomplete,Monge—Ampereequation (2000MSC14J7O) 1Introduction Inaffinedifferentialgeometryoneoftenan— countersfourthordernon—linearPDEs,whichare farfrombeingwellunderstood.Consequently, 收稿日期: 基金项目: 作者简介: 通讯作者: newandsignificanteffortsarerequiredfortheir investigation;seeRefs.[1～16],etc.Inthispa— perwestudythefollowingnonlinear,fourthor— derPDEforaconvexfunctionfonaconvexdo— maininR.Theequationcanbewrittenas ZOO9??05—?Z6 国家自然科学基金10671181) 许瑞伟(1979一),男,河南新乡人,博士,主要研究领域为微分几何.E-mail:xuruiwei@yahoo.corn.ca 李兴校.E-mail{xxl@ 1218四川大学(自然科学版)第46卷 ∑FOw一0,?一1 一 (aet())一(1) where(F)denotes,thecofactormatrixofthe Hessianmatrix(a2f)anda≠一n+2i.sareal number. Whena:=:—n+— 2 thePDE(1)iscaliedthe Abreuequation,whichdefinesmetri