4.3-向量组的线性相关性.pptVIP

第二章 行列式 Cramer法则 第三节 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 例1：(1) 零向量可被任一向量组线性表示. 二、向量组的线性相关与线性无关 例2 设向量组a1,a2,a3线性无关， b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证b1,b2,b3线性无关. 例3 已知a1=(1,-1,0,0)T, a2=(0,1,1,-1)T, a3=(-1,3,2,1)T, a4=(-2,6,4,1)T,讨论向量组a1,a2,a3,a4与向量组 a1,a2,a3的线性相关性. 作业 习题4－3 1（2） 4（2） 6 8 9 （1），（3） 向量组的线性组合 向量组的线性相关与线性无关 向量组:若干个同维的列向量（或同维的行向量）所 组成的集合． 对于一个m×n矩阵 它的m个n维行向量组成的向量组 它的n个m维列向量组成的向量组 列向量组: 行向量组: 定义1 对于给定的一组 个 维向量组成 称为向量组 的一个线性组合. 的向量组 , 对任何一组实数 , 向量 称为这个线性组合的系数. 给定向量组 ： 和向量 ， 如果存在一组数 ，使得 或称向量b可以由向量组A线性表示． 则称向量b是向量组A的线性组合. e1, e2 , … , en称为n维单位向量组. (2) 任一向量组可被自身线性表示. (3) 任一n维向量a=(a1,a2,…,an)可由n维向量组 e1=(1,0,…,0)， e2=(0,1,…,0)，…, en=(0,0,…,1) 线性表示. 由定义1，向量 能由向量组 线性表示， 有解. 等价于线性方程组 定理1 向量 能由向量组 线性表示的 充分必要条件是 矩阵 的秩等于矩阵 的秩． 即以矩阵B为增广矩阵的线性方程组有解. 例2 证明向量 能由向量组 线性表示，且写出它的一种表示方式． 证 故向量 能由向量组 线性表示． 取 ，得一解 故 又以B为增广矩阵的非齐次线性方程组的同解方程组为： 定义2 设有 维向量组 则称向量组 线性相关； 如果存在一组不全为零的数 当且仅当 时，(*)式成立 称向量组 线性无关． (*) ，使 例1 对 维单位坐标向量组 讨论它的线性相关性． 解 设 即 于是必有 即只有当 全为零时，(1)式才成立 所以向量组 线性无关. 注：特殊情形 3）任意一个含零向量的向量组必线性相关. 2）向量组 线性相关 成比例. 定理2 向量组 ( )线性相关 可由其余 个向量线性表示． 的充要条件是其中至少有一个向量 1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量； 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量. 定理3 设向量组 ： 构成矩阵 则向量组 线性相关的充要条件是 矩阵 的秩小于向量个数 即 向量组线性无关的充要条件是 解： 对矩阵(a1, a2,a3,a4)施行初等行变换化为行 阶梯形矩阵 则R(a1, a2,a3,a4)=34,向量组a1,a2,a3,a4线性相关， 而R(a1, a2,a3)=3，则向量组a1,a2,a3线性无关. 推论1 当向量的个数等于向量的维数时， 向量组线性相关的充要条件是 而向量组线性无关的充要条件是 该向量组构成的矩阵 的行列式 推论2 个 维列向量组成的向量组， 当 时一定线性相关． 几个性质（定理4) 而向量组 ： 线性相关， （1）设向量组 ： 线性无关， 则向量 必能由向量组 线性表示， 且表示法是唯一的． 则向量组 反之，若 线性无关， 则 也线性无关． （2）若向量组