§7 子空间的直与.pptVIP

§7　子空间的直和 下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 是直和; 零向量分解式是唯一的.即若 定理6.4 设均为数域上的线性空间的子空间. 则下列命题等价: 1) 为直和; 2) 中的零向量分解式一的; 3) ; 4) ; 5) 各取合起来构成的基. 学习与创新 设w为数域p上的n维线性空间的子空间. 则w的余子空间不是唯一的.讨论w的余子空间唯一 的充要条件. * * 引入　上节讨论了子空间的和，若 是 的子空间, 可以分解为 ， 自然要问这种分解式唯一吗？在几何空间 中,设 是过原点的X轴上的所有向量构成的子空间, 是过原点的Y轴所有向量构成的子空间.则 ， 这时, 中的每一 个向量 都能唯一地表示成 中 子空间的这种和特别重要. 的向量 与 中的向量 的和. 上的线性空间 的 定义7.1 设 是数域 两个子空间.若 中的每一个向量 的分解式 是唯一的.称 为直和(direct sum), 记为 则 ; 3) . 2)显然的. 证明 1) 3) 2) ,则 ,由 ,因而 ,故 的分解式为 3) 1) 设 中的向量 ， 于是 ,由 ，故 ＝0,于是 这就是说， 中的每一个向量的分解式都是唯一的, 为直和.　 即 对有限维子空间,我们有 上的线性空间 定理7.2 设 为数域 的两个有限维子空间.则下列命题等价: 1) 是直和; 2) ,则 的一个基 和 3)分别取 是 的基. 证明 1) 2) 由 是直和及定理7.1可得 由维数公式得2)成立. .故 , 3) 分别取 2) 的一个基 和 ,则 从而 , . 故 的秩 从而 线性无关,即 是 的基. 3) 1) 设 的基分别为 和 , 则 是 的基. ,令 . 设 于是 .故 维线性空间 上的 为数域 定理6.3 设 的子空间. 由 线性无关,故 ,即 ，从而 .故 中的每一个 向量的分解式是唯一的,即 为直和. 的一个子空间 则存在 ,使 ,将其扩充为 证明 在 中取一组基 的基 ， 令 . 由定理6.4可知, 是直和,故 ， 则 定义6.2 设 为数域 上的线性空间 的子空间.若存在 ,使 的子空间 为 称 的余子空间. 子空间的直和概念可以推广到有限个子空间的情况. 的余子空间. 向量构成的子空间都是 则任意一条过原点但不在平面 上的直线上的所有 中,设 是过原点的固定平面 上的所有向量构成的子空间. 定理6.3说明了余子空间的存在性,但余子空间 不是唯一的.例如,在几何空间 定义6.3 设 上的线性空间 均为数域 的分解式 每一个向量 , 的子空间.若 中的 都是唯一的.称 为直和,记为 . 与定理6.1及定理6.2类似,我们可以给出 有限个子空间的和是直和的等价条件. 例3 设 的子空间 , 证明: 证明 首先证明 .显然 . ,有 由 , ， 故 , ,从而 ,于是 .故 再证 是直和. ,则 , ,即 ,故 综上所述, . ,故 ,从而 是直和. *