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专题七排列、组合、二项式定理与概率
专题七 排列、组合、二项式定理和概率
选择题(每小题6分)
(01全国)若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+……+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+……+a1998的值为 ( )
A.3333 B3666 C.3999 D.32001
解:由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.取ω=-(1/2)+(/2)i,则ω3=1,ω2+ω+1=0. 令x=1,得 1000=a0+a1+a2+a3+…+a2000; ① 令x=ω,得 =a0+a1ω+a2ω2+…+a2000ω2000; ② 令x=ω2,得 =a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+…+a2000ω4000. ③ +②+③得 1000=3(a0+a3+a6+…+a1998). a0+a3+a6+…+a1998=3999,选C.已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有( )(A)C50100 (B)C4899 (C)C49100 (D)C4999 不妨设b1<b2<…<b50,将A中元素a1,a2,…,a100按顺序分为非空的50组。 定义映射f:A→B,使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1,2,…,50).易知这样的f满足题设要求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等,而A的分法数为C4999,则这样的映射共有C4999,故选D。,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )
A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
解:a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0。即。
(1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为,由于三位数中三个数码都相同,所以,。
(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为,由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有。但当大数为底时,设ab,必须满足。此时,不能构成三角形的数码是
a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4,3
2,1 4,3
2,1 3,2
1 3,2
1 1,2 1,2 1 1 共20种情况。
同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有种情况。
故。 综上,。
(05天津)将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文件A、B必须放入相邻的抽屉内,文件C、D也必须放入相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有( )种
(A)60 (B)120 (C)240 (D)480
解:将AB、CD、E及两个空抽屉视为5个元素,全排列为.由于AB、CD的排列数均为,而两个空抽屉为相同元素,故共有=240种.故选C.
(06全国) 数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为
A. B. C. D. ( )
【解】出现奇数个9的十进制数个数有。又由于以及,从而得
。
二、填空题(每小题9分)
(00全国)设an是(3(的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则)=___18_____
(00全国)如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)a(b,b(c,c(d,d(a;(3)a是a,b,c,d中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数的个数是___28______.
(01全国)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块种种植一种植物,相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案.
解:为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类. (1)若A、C、E种同一种植物,有4种种法.当A、C、E种植后,B、D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物(允许重复),各有3种方法.此时共有4×3×3×3=108种方法. (2)若A、C、E种二种植物,有P42种种法.当A、C、E种好后,若A、C种同一种,则B有3种方法,D、F各有2种方法;若C、E或E、A种同一种,相同(只是次序不同).此时共有P43×3(3×2×2)=432种方法. (3)若A、C、E种三种植
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