二元函数的概念二元函数的极限与连续性.doc

§7.1 二元函数的概念 二元函数的极限和连续性 教学目的： 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 教学重点： 求二元函数的极限，掌握二元函数极限与连续的关系。 1、二元函数的定义? 定义1 的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 例 1 设 （x2+y2≠0）， 求证。 因为， 可见，对任何ε0，取，则当 时，总有 成立，所以 。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A。 定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。 如果 则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。 性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。 性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 性质３　（零点定理） 性质４（有界性定理）　 例2 设 解 因此 §7.2 偏导数 教学目的：了解偏导数的概念、几何意义以及与连续的关系。掌握高阶偏导数的求法。 教学重点：二阶和高阶偏导数的计算，利用图形理解偏导数的几何意义，偏导数存在和连续成立的条件。 定义? 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0), 如果 存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作 或 fx（x0，y0）。 对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。 例1 求z=x2sin2y的偏导数。 解 例2 解 二 、 偏导数的几何意义 三 、 偏导数与连续的关系 二元函数中，偏导数存在，不一定连续 例如 四、 高阶偏导数 例 3 解 例4 解 定理7.1 如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 　 例5 解 所以 §7.3 全微分及其在近似计算中的应用 教学目的：理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。 教学重点：全微分的计算和它在近似计算中的应用。 一、全微分的概念 定义 可表示为 定理7.2 证明 时有 从而有 即 定理7.3 (可微的必要条件） 证明 所以 即 偏导数存在只是可微的必要条件，而不是充分条件。 例如 定理7.4 例1 解 因为 例2 解 因此 二 、 全微分在近似计算中的应用 即 例3 解 则 令 于是 而 所以 §7.4 多元函数和隐函数的求导法则 教学目的：掌握多元复合函数的求导法则，了解隐函数的概念，存在定理并计算多元函数的隐函数。 教学重点：求多元复合函数偏导数时，理清函数、中间变量和自变量的关系。 一、 多元复合函数求导法则 定理7.5 证明 所以有 完全类似地可以证明第二个等式。 求复合函数的偏导数时要注意两点 （1） 搞清函数的复合关系； （2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。 例1 解 例2 解 二、 隐函数的偏导数求法 同理可证 定理7.6（隐函数存在定理） 并有 例3 解 例4 解 应用上面公式，得 §7.5 二元函数偏导数的应用 教学目的：理解多元函数极值与条件极值的概念，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 教学重点：二元函数偏导数在几何上的具体应用，条件极值的拉格朗日乘数法和极大极小值的判别。 一、 在几何上的应用 1.空间曲线的切线与法平面 即 例1 解 于是，切线方程为 法平面方程为 2.曲面的切平面方程与法线方程 为 切平面的方程为 例2 解 或 法线方程为 二、 二元函数极值的求法 定理7.7(极值存在必要条件) 定理7.8（极值存在充分条件） 令 例3 解 解方程组 又由于 2.条件极值与拉格朗日乘数法 方法1 例4 解 由一元函数极值存在的必要条件，得 方法2 （拉格朗日数乘法） 例5 解 作辅助函数 令 由前三式，得 即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。 §7.6 二重积分 教学目的：理解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标) 教学重点：二