概率论与随机过程题集(第章).docVIP

第二章 概率论与随机过程 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,() =(),即X(t)为白噪过程。 （a）试求谱密度（f）。 （b）试求()和E[Y(t)]。 图P2-16 解：（a）= 又系统函数== ∴ []= ∴ []= 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是，试求其功率密度谱。 解：由功率密度谱的定义知 ＝ ＝ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ∴ ＝＋ 即为所求。 2-23 试证明函数 ＝，= 0，，，… 在区间[]上为正交的，即 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号的级数展开式，其中权值为的样值，且{}是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得 ＝ ＝ ∴命题得证。 系统的噪声等效带宽定义为 式中,。利用该定义，试确定图P2-12中的理想带通滤波器和图P2-16中的低通系统的噪声等效带宽。 图P2-12 图P2-16 解：(1) 对于图P2-12有 ∴图P2-12的系统的等效带宽为B (2) 对于图P2-16有 = = 第三章 信源编码 3-4 X、Y是两个离散随机变量,其概率为P(X=x, Y=y)=P(x, y) 证明：I(X,Y)≥０，当且仅当X和Y统计独立时等号成立。 证明： ∴≥0, 当且仅当X和Y统计独立时 此时, 3-5 某DMS信源输出由可能的字符，，…，组成，其发生概率分别是，，…，。证明信源熵至多是。 证明： 由熵定义可知 ＝ ； 又∵ ＝1 ∴ －＝－ ＝－ ＝ 又∵ ＝ ∴ － ＝ ＝ ＝0 ∴ 当且仅当 ＝ 时等号成立。 3-11 设和是两个联合分布的离散随机变量 （a）证明： ＝－ ＝－ (b) 利用上述结果证明： ＋ 在什么情况下上式的等号成立? （c） 证明： 当且仅当和独立时上式等号成立。 证明：(a) 由离散随机变量的边缘概率可知 ＝ ∴ ＝－ ＝－ ∴ 同理可知： （b） = ∵ ∴ 当=1时，等号成立。 (c) ∵ 由3-4的结论可知： ∴ 若存在不独立，使得 即 ∵ 不独立，所以与以上推论相互矛盾； ∴ 当且仅当相互独立时上式等号成立。 3-23 一个无记忆信符源的字集为{-5,-3,-1,0,1,3,5},相应的概率分别是{0.05,0.1,0.1,0.15,0.05,0.25,0.3}, (a) 计算信源熵。 (b) 假设信源输出按如下量化规则量化 ,计算量化后的信息熵。 解： (a) 由熵的定义可得 ＝－－－－ 取2作底可得 ＝ 量化后的字符集为{,} 且